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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
deshalb auch an0, an11 als astrichnull, astrichkonvers einseins (und nicht als
anullstrich, etc.) zu lesen haben.

Nach dem ersten Inversionstheoreme kann nun übrigens von den vier
relativen Termen in 3) jeder transponirt werden. Es entstehen dadurch
die Formelgespanne -- wofern wir die konjugirten unerwähnt lassen:
[Spaltenumbruch] 3a)

an1 j b an j an1 j ba ; a0 ; b a0 ; b
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-- worin, da sie wie 3a) rechts aus a ; a0 a0 teilweise auch schon be-
kannt sind, ein direktester Beweis der Formeln zu erblicken ist.

Ersetzt man noch in 3c) das a0 ; a durch a ; a0 (wonicht a00) und
transponirt abermals (das a), so kommt hinzu:
a0 ; (an1 j b) an j b oder an0 ; (a1 j b) a j b | a ; b an1 j a0 ; b
und andres mehr.

Nunmehr treten wir noch in etliche freie Forschungen ein. Die
Ergebnisse der Untersuchung nach den Prinzipien des Dualismus und
der Konjugation zu "Gespannen" zu ergänzen, sei zumeist dem Leser
überlassen.

Nachdem mit den Suffixen 0, 00, 1, 11 äusserst konzise Namen her-
stellbar gemacht und eingeführt sind für Ausdrücke, die allerdings die
Form von unendlichen Entwickelungen aufweisen, als solche jedoch
das allereinfachste und durchsichtigste Bildungsgesetz zeigen, wollen
wir kürzehalber übereinkommen, von der Lösung einer Aufgabe zu
sagen, dass sie sich "in halbgeschlossener Form" (genauer vielleicht,
statt semi-, quasi-geschlossen) präsentire, sobald sich ihr Ausdruck
mittelst endlicher Menge von Operationen der 6 Spezies und solcher
Suffixerteilungen aufbaut. Unsre der Kürze halber als "halbgeschlossen"
bezeichnete Formen sind also wesentlich solche, die im Operations-
kreis der 6 Spezies zwar als unendliche Entwickelungen sich präsen-
tiren, dagegen nach Adjungirung des Begriffs der a-Kette sich als ge-
schlossene Formen darstellen.

Wir schreiten zunächst dazu, die letzte Aufgabe zu verallgemeinern.

Augabe 3. Nach x die Subsumtion aufzulösen:
6) a ; x + b x.

Diese spielt ja obendrein in verschiednen der Dedekind'schen Sätze
-- D 40, 41, 44, 47, 48 -- eine so hervorragende Rolle, dass schon da-
durch die Aufgabe nahe gelegt erscheint. Ihre Lösung kann auf mehreren
Wegen erfolgen, die wir sämtlich aus-gehen wollen, sintemal sie zu inter-
essanten Ergebnissen führen und ihre Vergleichung methodologisch lehrreich
erscheint. Dieselben führen uns zu folgenden vier getrennt zu chiffrirenden


§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
deshalb auch ā0, ā̆11 als astrichnull, astrichkonvers einseins (und nicht als
anullstrich, etc.) zu lesen haben.

Nach dem ersten Inversionstheoreme kann nun übrigens von den vier
relativen Termen in 3) jeder transponirt werden. Es entstehen dadurch
die Formelgespanne — wofern wir die konjugirten unerwähnt lassen:
[Spaltenumbruch] 3a)

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— worin, da sie wie 3a) rechts aus a ; a0 ⋹ a0 teilweise auch schon be-
kannt sind, ein direktester Beweis der Formeln zu erblicken ist.

Ersetzt man noch in 3c) das a0 ; a durch a ; a0 (wonicht a00) und
transponirt abermals (das a), so kommt hinzu:
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und andres mehr.

Nunmehr treten wir noch in etliche freie Forschungen ein. Die
Ergebnisse der Untersuchung nach den Prinzipien des Dualismus und
der Konjugation zu „Gespannen“ zu ergänzen, sei zumeist dem Leser
überlassen.

Nachdem mit den Suffixen 0, 00, 1, 11 äusserst konzise Namen her-
stellbar gemacht und eingeführt sind für Ausdrücke, die allerdings die
Form von unendlichen Entwickelungen aufweisen, als solche jedoch
das allereinfachste und durchsichtigste Bildungsgesetz zeigen, wollen
wir kürzehalber übereinkommen, von der Lösung einer Aufgabe zu
sagen, dass sie sich „in halbgeschlossener Form“ (genauer vielleicht,
statt semi-, quasi-geschlossen) präsentire, sobald sich ihr Ausdruck
mittelst endlicher Menge von Operationen der 6 Spezies und solcher
Suffixerteilungen aufbaut. Unsre der Kürze halber als „halbgeschlossen“
bezeichnete Formen sind also wesentlich solche, die im Operations-
kreis der 6 Spezies zwar als unendliche Entwickelungen sich präsen-
tiren, dagegen nach Adjungirung des Begriffs der a-Kette sich als ge-
schlossene Formen darstellen.

Wir schreiten zunächst dazu, die letzte Aufgabe zu verallgemeinern.

Augabe 3. Nach x die Subsumtion aufzulösen:
6) a ; x + b ⋹ x.

Diese spielt ja obendrein in verschiednen der Dedekind’schen Sätze
— D 40, 41, 44, 47, 48 — eine so hervorragende Rolle, dass schon da-
durch die Aufgabe nahe gelegt erscheint. Ihre Lösung kann auf mehreren
Wegen erfolgen, die wir sämtlich aus-gehen wollen, sintemal sie zu inter-
essanten Ergebnissen führen und ihre Vergleichung methodologisch lehrreich
erscheint. Dieselben führen uns zu folgenden vier getrennt zu chiffrirenden


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[389/0403] § 24. Nebenstudien zur Kettentheorie. deshalb auch ā0, ā̆11 als astrichnull, astrichkonvers einseins (und nicht als anullstrich, etc.) zu lesen haben. Nach dem ersten Inversionstheoreme kann nun übrigens von den vier relativen Termen in 3) jeder transponirt werden. Es entstehen dadurch die Formelgespanne — wofern wir die konjugirten unerwähnt lassen: 3a) ā̆1 ɟ b ⋹ ā̆ ɟ ā̆1 ɟ b a ; a0 ; b ⋹ a0 ; b 3b) a⋹ā̆1 ɟ b ɟ b̄̆ ; a0 a0 ; b ; (b̄̆ ɟ ā̆1) ⋹ ā̆ 3c) a0 ; a ; (ā̆1 ɟ b) ⋹ b b⋹ā̆1 ɟ ā̆ ɟ a0 ; b 3d) a ; (ā̆1 ɟ b) ; b̄̆ ⋹ ā̆1 a0⋹ā̆ ɟ a0 ; b ɟ b̄̆ — worin, da sie wie 3a) rechts aus a ; a0 ⋹ a0 teilweise auch schon be- kannt sind, ein direktester Beweis der Formeln zu erblicken ist. Ersetzt man noch in 3c) das a0 ; a durch a ; a0 (wonicht a00) und transponirt abermals (das a), so kommt hinzu: a0 ; (ā̆1 ɟ b) ⋹ ā̆ ɟ b oder ā̆0 ; (a1 ɟ b) ⋹ a ɟ b | a ; b ⋹ ā̆1 ɟ a0 ; b und andres mehr. Nunmehr treten wir noch in etliche freie Forschungen ein. Die Ergebnisse der Untersuchung nach den Prinzipien des Dualismus und der Konjugation zu „Gespannen“ zu ergänzen, sei zumeist dem Leser überlassen. Nachdem mit den Suffixen 0, 00, 1, 11 äusserst konzise Namen her- stellbar gemacht und eingeführt sind für Ausdrücke, die allerdings die Form von unendlichen Entwickelungen aufweisen, als solche jedoch das allereinfachste und durchsichtigste Bildungsgesetz zeigen, wollen wir kürzehalber übereinkommen, von der Lösung einer Aufgabe zu sagen, dass sie sich „in halbgeschlossener Form“ (genauer vielleicht, statt semi-, quasi-geschlossen) präsentire, sobald sich ihr Ausdruck mittelst endlicher Menge von Operationen der 6 Spezies und solcher Suffixerteilungen aufbaut. Unsre der Kürze halber als „halbgeschlossen“ bezeichnete Formen sind also wesentlich solche, die im Operations- kreis der 6 Spezies zwar als unendliche Entwickelungen sich präsen- tiren, dagegen nach Adjungirung des Begriffs der a-Kette sich als ge- schlossene Formen darstellen. Wir schreiten zunächst dazu, die letzte Aufgabe zu verallgemeinern. Augabe 3. Nach x die Subsumtion aufzulösen: 6) a ; x + b ⋹ x. Diese spielt ja obendrein in verschiednen der Dedekind’schen Sätze — D 40, 41, 44, 47, 48 — eine so hervorragende Rolle, dass schon da- durch die Aufgabe nahe gelegt erscheint. Ihre Lösung kann auf mehreren Wegen erfolgen, die wir sämtlich aus-gehen wollen, sintemal sie zu inter- essanten Ergebnissen führen und ihre Vergleichung methodologisch lehrreich erscheint. Dieselben führen uns zu folgenden vier getrennt zu chiffrirenden

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 389. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/403>, abgerufen am 18.05.2024.