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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.
[Formel 1] ,
indem bei der letzten Teilforderung der Term 1' ; b oder b, als schon
selbstverständlich im Prädikat b enthalten, wegfiel. Der Bedingung v ; b b
oder v b j bn ist nun wiederum auf die allgemeinste Weise mittelst
v = (b j bn)w zu genügen, wonach bleibt:
26) [Formel 2] .

Das heisst: falls b Kette, so gibt es auch ein Relativ w derart, dass
auch 1' + (b j bn)w Kette ist -- inbezug auf a. Ein solches ist in der That
w = b j bn, wofür 1' + (b j bn)w = b j bn ebenfalls wird und wir auf 24) zu-
rückkommen.

Nun führt unser Weg über D 51 nach D 47. Um den Satz
D 51 oder
27) [Formel 3]
zu beweisen ist es wesentlich, aus der Voraussetzung a ; b b die
Folgerung a0 ; b b zu ziehen, wo [Formel 4] bedeutet, erstreckt über
die Werte von u, die der Bedingung "NB" genügen. Nun ist gewiss:
[Formel 5] und zwar welches der Erstreckungsbedingung genügende Relativ unter
dem letzten u auch immer verstanden werden möge. Dies aufgrund
des Satzes 5) des § 6 und weil das Produkt eingeordnet sein muss
einem jeden von seinen Faktoren.

Nun ist beim vorigen Hülfssatz -- unter 25) -- gezeigt, dass
unter diesen Faktoren sich wenigstens einer befindet, welcher Teil ist
von b, dass es nämlich ein der NB genügendes u gibt -- in Gestalt
von b j bn -- für welches u ; b b ist, und sonach muss also in der
That auch a0 ; b b a fortiori sein.

Diese Subsumtion kann dann sofort mit D 45 oder 9) zur Gleichung
a0 ; b = b zusammengezogen werden, womit die Aussagensubsumtion
(a ; b b) (a0 ; b = b)
gerechtfertigt ist. Behufs Rechtfertigung der umgekehrten Aussagensub-
sumtion -- die für unsern Hauptzweck nebensächlich ist und sogar schon
mit der abgeschwächten Prämisse als
(a0 ; b b) (a ; b b)
gelten muss -- braucht man sich blos auf das im Kontext S. 380 schon
gerechtfertigte a a0, ergo a ; b a0 ; b, zu berufen.


Neunte Vorlesung.
[Formel 1] ,
indem bei der letzten Teilforderung der Term 1' ; b oder b, als schon
selbstverständlich im Prädikat b enthalten, wegfiel. Der Bedingung v ; b ⋹ b
oder v ⋹ b ɟ b̄̆ ist nun wiederum auf die allgemeinste Weise mittelst
v = (b ɟ b̄̆)w zu genügen, wonach bleibt:
26) [Formel 2] .

Das heisst: falls b Kette, so gibt es auch ein Relativ w derart, dass
auch 1' + (b ɟ b̄̆)w Kette ist — inbezug auf a. Ein solches ist in der That
w = b ɟ b̄̆, wofür 1' + (b ɟ b̄̆)w = b ɟ b̄̆ ebenfalls wird und wir auf 24) zu-
rückkommen.

Nun führt unser Weg über D 51 nach D 47. Um den Satz
D 51 oder
27) [Formel 3]
zu beweisen ist es wesentlich, aus der Voraussetzung a ; b ⋹ b die
Folgerung a0 ; b ⋹ b zu ziehen, wo [Formel 4] bedeutet, erstreckt über
die Werte von u, die der Bedingung „NB“ genügen. Nun ist gewiss:
[Formel 5] und zwar welches der Erstreckungsbedingung genügende Relativ unter
dem letzten u auch immer verstanden werden möge. Dies aufgrund
des Satzes 5) des § 6 und weil das Produkt eingeordnet sein muss
einem jeden von seinen Faktoren.

Nun ist beim vorigen Hülfssatz — unter 25) — gezeigt, dass
unter diesen Faktoren sich wenigstens einer befindet, welcher Teil ist
von b, dass es nämlich ein der NB genügendes u gibt — in Gestalt
von b ɟ b̄̆ — für welches u ; b ⋹ b ist, und sonach muss also in der
That auch a0 ; b ⋹ b a fortiori sein.

Diese Subsumtion kann dann sofort mit D 45 oder 9) zur Gleichung
a0 ; b = b zusammengezogen werden, womit die Aussagensubsumtion
(a ; b ⋹ b) ⋹ (a0 ; b = b)
gerechtfertigt ist. Behufs Rechtfertigung der umgekehrten Aussagensub-
sumtion — die für unsern Hauptzweck nebensächlich ist und sogar schon
mit der abgeschwächten Prämisse als
(a0 ; b ⋹ b) ⋹ (a ; b ⋹ b)
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[382/0396] Neunte Vorlesung. [FORMEL], indem bei der letzten Teilforderung der Term 1' ; b oder b, als schon selbstverständlich im Prädikat b enthalten, wegfiel. Der Bedingung v ; b ⋹ b oder v ⋹ b ɟ b̄̆ ist nun wiederum auf die allgemeinste Weise mittelst v = (b ɟ b̄̆)w zu genügen, wonach bleibt: 26) [FORMEL]. Das heisst: falls b Kette, so gibt es auch ein Relativ w derart, dass auch 1' + (b ɟ b̄̆)w Kette ist — inbezug auf a. Ein solches ist in der That w = b ɟ b̄̆, wofür 1' + (b ɟ b̄̆)w = b ɟ b̄̆ ebenfalls wird und wir auf 24) zu- rückkommen. Nun führt unser Weg über D 51 nach D 47. Um den Satz D 51 oder 27) [FORMEL] zu beweisen ist es wesentlich, aus der Voraussetzung a ; b ⋹ b die Folgerung a0 ; b ⋹ b zu ziehen, wo [FORMEL] bedeutet, erstreckt über die Werte von u, die der Bedingung „NB“ genügen. Nun ist gewiss: [FORMEL] und zwar welches der Erstreckungsbedingung genügende Relativ unter dem letzten u auch immer verstanden werden möge. Dies aufgrund des Satzes 5) des § 6 und weil das Produkt eingeordnet sein muss einem jeden von seinen Faktoren. Nun ist beim vorigen Hülfssatz — unter 25) — gezeigt, dass unter diesen Faktoren sich wenigstens einer befindet, welcher Teil ist von b, dass es nämlich ein der NB genügendes u gibt — in Gestalt von b ɟ b̄̆ — für welches u ; b ⋹ b ist, und sonach muss also in der That auch a0 ; b ⋹ b a fortiori sein. Diese Subsumtion kann dann sofort mit D 45 oder 9) zur Gleichung a0 ; b = b zusammengezogen werden, womit die Aussagensubsumtion (a ; b ⋹ b) ⋹ (a0 ; b = b) gerechtfertigt ist. Behufs Rechtfertigung der umgekehrten Aussagensub- sumtion — die für unsern Hauptzweck nebensächlich ist und sogar schon mit der abgeschwächten Prämisse als (a0 ; b ⋹ b) ⋹ (a ; b ⋹ b) gelten muss — braucht man sich blos auf das im Kontext S. 380 schon gerechtfertigte a ⋹ a0, ergo a ; b ⋹ a0 ; b, zu berufen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 382. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/396>, abgerufen am 14.05.2024.