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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 23. Hülfssatz zur Vereinfachung der Kettentheorie.
in der That auch leicht die beiden andern ableitbar wären. Um hier nun
weiter zu kommen, bedarf es eines ganz neuen Gedankens.

Für den noch ausstehenden Beweis des dritten und letzten der
unentbehrlichen Sätze, D 47, muss ich die Kettentheorie um einen
Hülfssatz bereichern. Dieser lautet:
24) [Formel 1]
-- in Worten: Wenn b Kette ist inbezug auf a, so ist auch b j bn Kette
inbezug auf a, und umgekehrt.

Beweis. Sei a ; b b. Weil nach 9) des § 17: b = (b j bn) ; b ist,
haben wir dann:
a ; b = a ; (b j bn) ; b b,
und aus der letzten Subsumtion folgt durch Transponiren des letzten
relativen Faktors -- b -- nach dem ersten Inversionstheoreme 4) des
§ 17 in der That:
a ; (b j bn) b j bn.

Umgekehrt kann letztre Subsumtion äquivalent in die vorher-
gehende und diese in die erste umgeschrieben werden, d. h. die Schluss-
reihe ist ohne weitres umkehrbar, q. e. d.

Daraufhin kann man nunmehr -- in Analogie zu D 41 -- noch
einen weitern Hülfssatz aufstellen; doch ist es nicht gerade unerläss-
lich, ihn als solchen formulirt zu haben oder gar zu memoriren;
vielmehr würde es genügen, seinen Beweis mit demjenigen des fol-
genden Hauptsatzes (D 51) zu verschmelzen. Er lautet:
25) [Formel 2] ,
in Worten: Wenn b Kette ist inbezug auf a, so gibt es eine Kette u
inbezug auf a, die alle individuellen Selbstrelative in sich schliesst und
inbezug auf welche b eine Kette ist. Und zwar ist:

(Beweis) u = b j bn eine solche Kette.

Denn diese erfüllt erstlich wegen 3) des § 8, nämlich 1' b j bn
die Forderung 1' u, zweitens nach dem vorigen Hülfssatze 24) auch
die Forderung a ; u u, und drittens nach 9) des § 17 auch diese:
u ; b b, indem ja zwischen (b j bn) ; b und b sogar Gleichheit besteht.
Dementsprechend konnte auch in 25) das letzte Einordnungszeichen als
ein Gleichheitszeichen angesetzt werden.

Man kann dem Satze 25) noch eine hübschere Gestalt geben. Der
Forderung 1' u wird nämlich mittelst des Ansatzes u = 1' + v auf die
allgemeinste Weise genügt, und entsteht:

§ 23. Hülfssatz zur Vereinfachung der Kettentheorie.
in der That auch leicht die beiden andern ableitbar wären. Um hier nun
weiter zu kommen, bedarf es eines ganz neuen Gedankens.

Für den noch ausstehenden Beweis des dritten und letzten der
unentbehrlichen Sätze, D 47, muss ich die Kettentheorie um einen
Hülfssatz bereichern. Dieser lautet:
24) [Formel 1]
— in Worten: Wenn b Kette ist inbezug auf a, so ist auch b ɟ b̄̆ Kette
inbezug auf a, und umgekehrt.

Beweis. Sei a ; b ⋹ b. Weil nach 9) des § 17: b = (b ɟ b̄̆) ; b ist,
haben wir dann:
a ; b = a ; (b ɟ b̄̆) ; b ⋹ b,
und aus der letzten Subsumtion folgt durch Transponiren des letzten
relativen Faktors — b — nach dem ersten Inversionstheoreme 4) des
§ 17 in der That:
a ; (b ɟ b̄̆) ⋹ b ɟ b̄̆.

Umgekehrt kann letztre Subsumtion äquivalent in die vorher-
gehende und diese in die erste umgeschrieben werden, d. h. die Schluss-
reihe ist ohne weitres umkehrbar, q. e. d.

Daraufhin kann man nunmehr — in Analogie zu D 41 — noch
einen weitern Hülfssatz aufstellen; doch ist es nicht gerade unerläss-
lich, ihn als solchen formulirt zu haben oder gar zu memoriren;
vielmehr würde es genügen, seinen Beweis mit demjenigen des fol-
genden Hauptsatzes (D 51) zu verschmelzen. Er lautet:
25) [Formel 2] ,
in Worten: Wenn b Kette ist inbezug auf a, so gibt es eine Kette u
inbezug auf a, die alle individuellen Selbstrelative in sich schliesst und
inbezug auf welche b eine Kette ist. Und zwar ist:

(Beweis) u = b ɟ b̄̆ eine solche Kette.

Denn diese erfüllt erstlich wegen 3) des § 8, nämlich 1' ⋹ b ɟ b̄̆
die Forderung 1' ⋹ u, zweitens nach dem vorigen Hülfssatze 24) auch
die Forderung a ; u ⋹ u, und drittens nach 9) des § 17 auch diese:
u ; b ⋹ b, indem ja zwischen (b ɟ b̄̆) ; b und b sogar Gleichheit besteht.
Dementsprechend konnte auch in 25) das letzte Einordnungszeichen als
ein Gleichheitszeichen angesetzt werden.

Man kann dem Satze 25) noch eine hübschere Gestalt geben. Der
Forderung 1' ⋹ u wird nämlich mittelst des Ansatzes u = 1' + v auf die
allgemeinste Weise genügt, und entsteht:

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[381/0395] § 23. Hülfssatz zur Vereinfachung der Kettentheorie. in der That auch leicht die beiden andern ableitbar wären. Um hier nun weiter zu kommen, bedarf es eines ganz neuen Gedankens. Für den noch ausstehenden Beweis des dritten und letzten der unentbehrlichen Sätze, D 47, muss ich die Kettentheorie um einen Hülfssatz bereichern. Dieser lautet: 24) [FORMEL] — in Worten: Wenn b Kette ist inbezug auf a, so ist auch b ɟ b̄̆ Kette inbezug auf a, und umgekehrt. Beweis. Sei a ; b ⋹ b. Weil nach 9) des § 17: b = (b ɟ b̄̆) ; b ist, haben wir dann: a ; b = a ; (b ɟ b̄̆) ; b ⋹ b, und aus der letzten Subsumtion folgt durch Transponiren des letzten relativen Faktors — b — nach dem ersten Inversionstheoreme 4) des § 17 in der That: a ; (b ɟ b̄̆) ⋹ b ɟ b̄̆. Umgekehrt kann letztre Subsumtion äquivalent in die vorher- gehende und diese in die erste umgeschrieben werden, d. h. die Schluss- reihe ist ohne weitres umkehrbar, q. e. d. Daraufhin kann man nunmehr — in Analogie zu D 41 — noch einen weitern Hülfssatz aufstellen; doch ist es nicht gerade unerläss- lich, ihn als solchen formulirt zu haben oder gar zu memoriren; vielmehr würde es genügen, seinen Beweis mit demjenigen des fol- genden Hauptsatzes (D 51) zu verschmelzen. Er lautet: 25) [FORMEL], in Worten: Wenn b Kette ist inbezug auf a, so gibt es eine Kette u inbezug auf a, die alle individuellen Selbstrelative in sich schliesst und inbezug auf welche b eine Kette ist. Und zwar ist: (Beweis) u = b ɟ b̄̆ eine solche Kette. Denn diese erfüllt erstlich wegen 3) des § 8, nämlich 1' ⋹ b ɟ b̄̆ die Forderung 1' ⋹ u, zweitens nach dem vorigen Hülfssatze 24) auch die Forderung a ; u ⋹ u, und drittens nach 9) des § 17 auch diese: u ; b ⋹ b, indem ja zwischen (b ɟ b̄̆) ; b und b sogar Gleichheit besteht. Dementsprechend konnte auch in 25) das letzte Einordnungszeichen als ein Gleichheitszeichen angesetzt werden. Man kann dem Satze 25) noch eine hübschere Gestalt geben. Der Forderung 1' ⋹ u wird nämlich mittelst des Ansatzes u = 1' + v auf die allgemeinste Weise genügt, und entsteht:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 381. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/395>, abgerufen am 13.05.2024.