Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.

Der Beweis von D 47 oder
11)+ (a ; c + b c) (a0 ; b c)
ist nun endlich ganz leicht so zu leisten:
(a ; c + b c) = (b c)(a ; c c) (a0 ; b a0 ; c)(a0 ; c c) (a0 ; b c)
-- aufgrund von 27) oder D 51.

Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises
von D 59, 60 gewonnen.

Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den
Satz zu gewinnen:
28) a0 = 1' + a ; a0
-- eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab-
leitbar ist.

Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir:
1' + a ; a0 a0 = Pu u, somit
1' + a ; a0 u
für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form:
u = 1' + a ; a0 + v,
und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung:
1' + a + a ; a ; a0 + a ; v 1' + a ; a0 + v,
welche sich jedoch sofort vereinfacht zu
NB0 =) a ; v 1' + a ; a0 + v,
indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen
im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja a a ; a0 sofort
(als a ; 1' a ; a0) aus 23)a und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) a ; a0 aus 21)b.
Darnach ist gefunden:
[Formel 1] ,
sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Pv = 0 ist, q. e. d.

Zum Überfluss wollen wir -- ohne Benutzung der Potenzreihe
für a0 -- auch noch die beiden Sätze beweisen:
7)+ a0 ; a0 = a und 6)+ a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).

Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)b nach dem
Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen.
Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (b a0 ; c) (a0 ; b a0 ; c),

+ Aus Früherem wiederholt.

§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.

Der Beweis von D 47 oder
11)† (a ; c + b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c)
ist nun endlich ganz leicht so zu leisten:
(a ; c + b ⋹ c) = (b ⋹ c)(a ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c)(a0 ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c)
— aufgrund von 27) oder D 51.

Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises
von D 59, 60 gewonnen.

Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den
Satz zu gewinnen:
28) a0 = 1' + a ; a0
— eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab-
leitbar ist.

Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir:
1' + a ; a0 ⋹ a0 = Πu ⋹ u, somit
1' + a ; a0 ⋹ u
für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form:
u = 1' + a ; a0 + v,
und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung:
1' + a + a ; a ; a0 + a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v,
welche sich jedoch sofort vereinfacht zu
NB0 =) a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v,
indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen
im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja a ⋹ a ; a0 sofort
(als a ; 1' ⋹ a ; a0) aus 23)α und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0 aus 21)β.
Darnach ist gefunden:
[Formel 1] ,
sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Πv = 0 ist, q. e. d.

Zum Überfluss wollen wir — ohne Benutzung der Potenzreihe
für a0 — auch noch die beiden Sätze beweisen:
7)† a0 ; a0 = a und 6)† a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).

Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)β nach dem
Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen.
Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c),

† Aus Früherem wiederholt.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0397" n="383"/>
          <fw place="top" type="header">§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.</fw><lb/>
          <p>Der <hi rendition="#g">Beweis</hi> von <hi rendition="#fr">D</hi> 47 oder<lb/>
11)<note place="foot" n="&#x2020;">Aus Früherem wiederholt.</note> <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>)</hi><lb/>
ist nun endlich ganz leicht so zu leisten:<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>)(<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi>)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>)<lb/>
&#x2014; aufgrund von 27) oder <hi rendition="#fr">D</hi> 51.</p><lb/>
          <p>Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises<lb/>
von <hi rendition="#fr">D</hi> 59, 60 gewonnen.</p><lb/>
          <p>Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu <hi rendition="#fr">D</hi> 58, oder den<lb/><hi rendition="#g">Satz</hi> zu gewinnen:<lb/>
28) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> = 1' + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi></hi><lb/>
&#x2014; eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> leicht ab-<lb/>
leitbar ist.</p><lb/>
          <p>Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir:<lb/><hi rendition="#et">1' + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">u</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">u</hi>, somit<lb/>
1' + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">u</hi></hi><lb/>
für jedes der <hi rendition="#i">NB</hi> genügende <hi rendition="#i">u</hi>. Mithin ist <hi rendition="#i">u</hi> jedenfalls von der Form:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">u</hi> = 1' + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> + <hi rendition="#i">v</hi>,</hi><lb/>
und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für <hi rendition="#i">v</hi> die Erstreckungsbedingung:<lb/><hi rendition="#c">1' + <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">v</hi> &#x22F9; 1' + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> + <hi rendition="#i">v</hi>,</hi><lb/>
welche sich jedoch sofort vereinfacht zu<lb/><hi rendition="#i">NB</hi><hi rendition="#sub">0</hi> =) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">v</hi> &#x22F9; 1' + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> + <hi rendition="#i">v</hi>,</hi><lb/>
indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen<lb/>
im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> sofort<lb/>
(als <hi rendition="#i">a</hi> ; 1' &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi>) aus 23)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">&#x03B1;</hi></hi> und <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> ; (<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> aus 21)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">&#x03B2;</hi></hi>.<lb/>
Darnach ist gefunden:<lb/><hi rendition="#c"><formula/>,</hi><lb/>
sintemal <hi rendition="#i">v</hi> = 0 der <hi rendition="#i">NB</hi><hi rendition="#sub">0</hi> genügt, somit <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">v</hi></hi> = 0 ist, q. e. d.</p><lb/>
          <p>Zum Überfluss wollen wir &#x2014; <hi rendition="#i">ohne</hi> Benutzung der Potenzreihe<lb/>
für <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> &#x2014; auch noch die beiden Sätze beweisen:<lb/><hi rendition="#c">7)<note place="foot" n="&#x2020;">Aus Früherem wiederholt.</note> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> und 6)<note place="foot" n="&#x2020;">Aus Früherem wiederholt.</note> <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> (was = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">00</hi> zu <hi rendition="#g">definiren</hi>).</hi></p><lb/>
          <p>Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">&#x03B2;</hi></hi> nach dem<lb/>
Schema von 27) oder <hi rendition="#fr">D</hi> 51, dieses für <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> in Anspruch genommen.<lb/>
Er ist sozusagen der Kern des Satzes <hi rendition="#fr">D</hi> 53: (<hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi>),<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[383/0397] § 23. Vereinfachte Kettentheorie. Der Beweis von D 47 oder 11) † (a ; c + b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c) ist nun endlich ganz leicht so zu leisten: (a ; c + b ⋹ c) = (b ⋹ c)(a ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c)(a0 ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c) — aufgrund von 27) oder D 51. Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises von D 59, 60 gewonnen. Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den Satz zu gewinnen: 28) a0 = 1' + a ; a0 — eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab- leitbar ist. Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir: 1' + a ; a0 ⋹ a0 = Πu ⋹ u, somit 1' + a ; a0 ⋹ u für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form: u = 1' + a ; a0 + v, und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung: 1' + a + a ; a ; a0 + a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v, welche sich jedoch sofort vereinfacht zu NB0 =) a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v, indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja a ⋹ a ; a0 sofort (als a ; 1' ⋹ a ; a0) aus 23)α und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0 aus 21)β. Darnach ist gefunden: [FORMEL], sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Πv = 0 ist, q. e. d. Zum Überfluss wollen wir — ohne Benutzung der Potenzreihe für a0 — auch noch die beiden Sätze beweisen: 7) † a0 ; a0 = a und 6) † a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren). Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)β nach dem Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen. Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c), † Aus Früherem wiederholt. † Aus Früherem wiederholt. † Aus Früherem wiederholt.

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/397
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 383. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/397>, abgerufen am 14.05.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.