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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.
bedingung gelten muss, aus dem sie durch beiderseitiges Produktiren
folgte. Damit ist aber gefunden:
23)a 1' a0 und 23)b a ; a0 a0,
was auch zusammenziehbar zu
23) 1' + a ; a0 a0.

Die beiden Teile von 23) erscheinen als die vereinfachten D 45 und 46,
beziehungsweise als deren Unterfälle für b = 1'.

Aus 23)a folgt sogleich: 1' ; b a0 ; b, also
9)+ ba0 ; b,
womit der Satz D 45 bewiesen ist, der nebenbei auch die Sätzchen:
aa0 ; a und a0 a0 ; a0
unter sich begreift.

Und ferner folgt im Hinblick auf 23)b:
(b a0 ; c) (a ; b a ; a0 ; c a0 ; c), womit
10)+ (b a0 ; c) (a ; b a0 ; c),
mithin der Satz D 55 gewonnen ist. Von den drei zum Beweise von
D 59 unentbehrlichen Sätzen verfügen wir also schon über zweie.

Ebensoleicht würden sich auch noch einige andre Sätze gewinnen
lassen, die teils selbst der Dedekind'schen Kettentheorie angehören, teils
die entsprechenden Vereinfachungen von Sätzen dieser sind, deren wir aber
hier zu entraten vermögen.

So folgt aus 23)a auch b ; 1' b ; a0, oder der Satz b b ; a0, welcher
auch a a ; a0 und im Hinblick auf 23)b dann a a0 a fortiori invol-
virt -- letztre beiden die Vereinfachungen zu D 49 und 50.

Namentlich ist noch mit folgenden beiden Varianten der Überlegung:
(b c) = (1' a0)(b c) (1' ; b a0 ; c) = (b a0 ; c)
(b c) (a0 ; b a0 ; c) = (b a0 ; b)(a0 ; b a0 ; c) (b a0 ; c)
der Satz D 52: (b c) (b a0 ; c) aus 23)a oder D 45 leicht erweisbar.

Allein wenn wir bisher in Parallelismus zur Dedekind'schen Theorie
auf das Leichteste vordringen konnten mit Überlegungen, die imgrunde
nur darauf hinausliefen, die Überlegungen dieses Autors für einen ein-
fachern Sonderfall zu wiederholen (indem allerdings auch nur für diesen
sie ausgeführt werden müssen), so findet dies Verfahren nunmehr eine
Grenze. Bei D 47, 51, 53 versagen uns Dedekind's Beweise, weil sie
wesentlich auf der allgemeinern (und komplizirtern) von diesem Autor zu-
grunde gelegten Definition D 44 beruhen, und wenn wir etwa zum Beweise
der entsprechenden Vereinfachungen dieser Sätze mit Parallelüberlegungen
zu den Dedekind'schen auszukommen versuchen, so gelangen wir ledig-
lich zu einem Zirkel zwischen den genannten drei Sätzen, aus deren jedem

+ Aus Früherem wiederholt.
+ Aus Früherem wiederholt.

Neunte Vorlesung.
bedingung gelten muss, aus dem sie durch beiderseitiges Produktiren
folgte. Damit ist aber gefunden:
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was auch zusammenziehbar zu
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Die beiden Teile von 23) erscheinen als die vereinfachten D 45 und 46,
beziehungsweise als deren Unterfälle für b = 1'.

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womit der Satz D 45 bewiesen ist, der nebenbei auch die Sätzchen:
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mithin der Satz D 55 gewonnen ist. Von den drei zum Beweise von
D 59 unentbehrlichen Sätzen verfügen wir also schon über zweie.

Ebensoleicht würden sich auch noch einige andre Sätze gewinnen
lassen, die teils selbst der Dedekind’schen Kettentheorie angehören, teils
die entsprechenden Vereinfachungen von Sätzen dieser sind, deren wir aber
hier zu entraten vermögen.

So folgt aus 23)α auch b ; 1' ⋹ b ; a0, oder der Satz b ⋹ b ; a0, welcher
auch a ⋹ a ; a0 und im Hinblick auf 23)β dann a ⋹ a0 a fortiori invol-
virt — letztre beiden die Vereinfachungen zu D 49 und 50.

Namentlich ist noch mit folgenden beiden Varianten der Überlegung:
(b ⋹ c) = (1' ⋹ a0)(b ⋹ c) ⋹ (1' ; b ⋹ a0 ; c) = (b ⋹ a0 ; c)
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der Satz D 52: (b ⋹ c) ⋹ (b ⋹ a0 ; c) aus 23)α oder D 45 leicht erweisbar.

Allein wenn wir bisher in Parallelismus zur Dedekind’schen Theorie
auf das Leichteste vordringen konnten mit Überlegungen, die imgrunde
nur darauf hinausliefen, die Überlegungen dieses Autors für einen ein-
fachern Sonderfall zu wiederholen (indem allerdings auch nur für diesen
sie ausgeführt werden müssen), so findet dies Verfahren nunmehr eine
Grenze. Bei D 47, 51, 53 versagen uns Dedekind’s Beweise, weil sie
wesentlich auf der allgemeinern (und komplizirtern) von diesem Autor zu-
grunde gelegten Definition D 44 beruhen, und wenn wir etwa zum Beweise
der entsprechenden Vereinfachungen dieser Sätze mit Parallelüberlegungen
zu den Dedekind’schen auszukommen versuchen, so gelangen wir ledig-
lich zu einem Zirkel zwischen den genannten drei Sätzen, aus deren jedem

† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
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[380/0394] Neunte Vorlesung. bedingung gelten muss, aus dem sie durch beiderseitiges Produktiren folgte. Damit ist aber gefunden: 23)α 1' ⋹ a0 und 23)β a ; a0 ⋹ a0, was auch zusammenziehbar zu 23) 1' + a ; a0 ⋹ a0. Die beiden Teile von 23) erscheinen als die vereinfachten D 45 und 46, beziehungsweise als deren Unterfälle für b = 1'. Aus 23)α folgt sogleich: 1' ; b ⋹ a0 ; b, also 9) † b⋹a0 ; b, womit der Satz D 45 bewiesen ist, der nebenbei auch die Sätzchen: a⋹a0 ; a und a0 ⋹ a0 ; a0 unter sich begreift. Und ferner folgt im Hinblick auf 23)β: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a ; b ⋹ a ; a0 ; c ⋹ a0 ; c), womit 10) † (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a ; b ⋹ a0 ; c), mithin der Satz D 55 gewonnen ist. Von den drei zum Beweise von D 59 unentbehrlichen Sätzen verfügen wir also schon über zweie. Ebensoleicht würden sich auch noch einige andre Sätze gewinnen lassen, die teils selbst der Dedekind’schen Kettentheorie angehören, teils die entsprechenden Vereinfachungen von Sätzen dieser sind, deren wir aber hier zu entraten vermögen. So folgt aus 23)α auch b ; 1' ⋹ b ; a0, oder der Satz b ⋹ b ; a0, welcher auch a ⋹ a ; a0 und im Hinblick auf 23)β dann a ⋹ a0 a fortiori invol- virt — letztre beiden die Vereinfachungen zu D 49 und 50. Namentlich ist noch mit folgenden beiden Varianten der Überlegung: (b ⋹ c) = (1' ⋹ a0)(b ⋹ c) ⋹ (1' ; b ⋹ a0 ; c) = (b ⋹ a0 ; c) (b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c) = (b ⋹ a0 ; b)(a0 ; b ⋹ a0 ; c) ⋹ (b ⋹ a0 ; c) der Satz D 52: (b ⋹ c) ⋹ (b ⋹ a0 ; c) aus 23)α oder D 45 leicht erweisbar. Allein wenn wir bisher in Parallelismus zur Dedekind’schen Theorie auf das Leichteste vordringen konnten mit Überlegungen, die imgrunde nur darauf hinausliefen, die Überlegungen dieses Autors für einen ein- fachern Sonderfall zu wiederholen (indem allerdings auch nur für diesen sie ausgeführt werden müssen), so findet dies Verfahren nunmehr eine Grenze. Bei D 47, 51, 53 versagen uns Dedekind’s Beweise, weil sie wesentlich auf der allgemeinern (und komplizirtern) von diesem Autor zu- grunde gelegten Definition D 44 beruhen, und wenn wir etwa zum Beweise der entsprechenden Vereinfachungen dieser Sätze mit Parallelüberlegungen zu den Dedekind’schen auszukommen versuchen, so gelangen wir ledig- lich zu einem Zirkel zwischen den genannten drei Sätzen, aus deren jedem † Aus Früherem wiederholt. † Aus Früherem wiederholt.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 380. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/394>, abgerufen am 14.05.2024.