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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.
nämlich ohne den oben gerügten Zirkel, bewiesen und dürfte fortan
überall angewendet werden.

Inzwischen müssen wir unsern "Hinweg" noch vollends zu Ende
gehen.

D 57. Satz und Erklärung. Es ist:
a ; (a0 ; b) = a0 ; (a ; b),
d. h. das a-Bild der a-Kette von einem Relativ b ist zugleich die a-Kette
vom a-Bilde dieses Relativs b.

Man kann daher solches Relativ kurz durch
a00 ; b
(mit demselben Vorbehalt wie S. 370 -- vorgreifend!) bezeichnen und
nach Belieben das a-Kettenbild oder die a-Bildkette von b nennen.

Beweis. Auf a ; b statt b angewendet sind D 45 und D 46 leicht
einzeln hinzuschreiben, lassen sich aber sogleich zusammenfassen zu:
a ; {b + a0 ; (a ; b)} a0 ; (a ; b).

Diese Folgerung hat nun die Form der Prämisse von D 41, worin
nur c durch den Ausdruck rechterhand vertreten erscheint. Nach diesem
Satze gibt es nun ein u -- nebenbei gesagt wäre der Ausdruck in der
geschweiften Klammer linkerhand ein solches --, welches die nachstehend
hinter dem Summenzeichen angegebnen Eigenschaften besitzt -- oder, um
ganz aussagenrechnerisch vorzugehen, es gilt die Konklusion:
[Formel 1] -- wie man durch die ersichtlichen Folgerungen aus dem ersten Aussagen-
faktor, sodann durch den Subsumtionsschluss successive ersieht [und nach
dem Tautologiegesetze der Aussagenaddition ist das Summenzeichen unter-
drückbar gewesen, sobald der allgemeine Summand konstant in Hinsicht
der Summationsvariabeln u wurde -- wodurch der Eindruck entsteht, als
ob man beim Folgern die Summe ihrem Gliede verkehrterweise gesetzt
hätte!]. Mithin ist die zuletzt gefolgerte Subsumtion bewiesen.

Andrerseits gibt D 46, mit a beiderseits relativ vormultiplizirt eine
Folgerung, welche mit D 50 vereinigt lautet:
a ; {a ; (a0 ; b)} + a ; b a ; (a0 ; b)
und wiederum die Form der Prämisse von D 47 zeigt, indem nur das dor-
tige b hier durch a ; b, das c durch die rechte Seite vertreten erscheint.
Nach dem Schema der Konklusion jenes Satzes muss also sein:
a0 ; (a ; b) a ; (a0 ; b),

Neunte Vorlesung.
nämlich ohne den oben gerügten Zirkel, bewiesen und dürfte fortan
überall angewendet werden.

Inzwischen müssen wir unsern „Hinweg“ noch vollends zu Ende
gehen.

D 57. Satz und Erklärung. Es ist:
a ; (a0 ; b) = a0 ; (a ; b),
d. h. das a-Bild der a-Kette von einem Relativ b ist zugleich die a-Kette
vom a-Bilde dieses Relativs b.

Man kann daher solches Relativ kurz durch
a00 ; b
(mit demselben Vorbehalt wie S. 370 — vorgreifend!) bezeichnen und
nach Belieben das a-Kettenbild oder die a-Bildkette von b nennen.

Beweis. Auf a ; b statt b angewendet sind D 45 und D 46 leicht
einzeln hinzuschreiben, lassen sich aber sogleich zusammenfassen zu:
a ; {b + a0 ; (a ; b)} ⋹ a0 ; (a ; b).

Diese Folgerung hat nun die Form der Prämisse von D 41, worin
nur c durch den Ausdruck rechterhand vertreten erscheint. Nach diesem
Satze gibt es nun ein u — nebenbei gesagt wäre der Ausdruck in der
geschweiften Klammer linkerhand ein solches —, welches die nachstehend
hinter dem Summenzeichen angegebnen Eigenschaften besitzt — oder, um
ganz aussagenrechnerisch vorzugehen, es gilt die Konklusion:
[Formel 1] — wie man durch die ersichtlichen Folgerungen aus dem ersten Aussagen-
faktor, sodann durch den Subsumtionsschluss successive ersieht [und nach
dem Tautologiegesetze der Aussagenaddition ist das Summenzeichen unter-
drückbar gewesen, sobald der allgemeine Summand konstant in Hinsicht
der Summationsvariabeln u wurde — wodurch der Eindruck entsteht, als
ob man beim Folgern die Summe ⋹ ihrem Gliede verkehrterweise gesetzt
hätte!]. Mithin ist die zuletzt gefolgerte Subsumtion bewiesen.

Andrerseits gibt D 46, mit a beiderseits relativ vormultiplizirt eine
Folgerung, welche mit D 50 vereinigt lautet:
a ; {a ; (a0 ; b)} + a ; b ⋹ a ; (a0 ; b)
und wiederum die Form der Prämisse von D 47 zeigt, indem nur das dor-
tige b hier durch a ; b, das c durch die rechte Seite vertreten erscheint.
Nach dem Schema der Konklusion jenes Satzes muss also sein:
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[374/0388] Neunte Vorlesung. nämlich ohne den oben gerügten Zirkel, bewiesen und dürfte fortan überall angewendet werden. Inzwischen müssen wir unsern „Hinweg“ noch vollends zu Ende gehen. D 57. Satz und Erklärung. Es ist: a ; (a0 ; b) = a0 ; (a ; b), d. h. das a-Bild der a-Kette von einem Relativ b ist zugleich die a-Kette vom a-Bilde dieses Relativs b. Man kann daher solches Relativ kurz durch a00 ; b (mit demselben Vorbehalt wie S. 370 — vorgreifend!) bezeichnen und nach Belieben das a-Kettenbild oder die a-Bildkette von b nennen. Beweis. Auf a ; b statt b angewendet sind D 45 und D 46 leicht einzeln hinzuschreiben, lassen sich aber sogleich zusammenfassen zu: a ; {b + a0 ; (a ; b)} ⋹ a0 ; (a ; b). Diese Folgerung hat nun die Form der Prämisse von D 41, worin nur c durch den Ausdruck rechterhand vertreten erscheint. Nach diesem Satze gibt es nun ein u — nebenbei gesagt wäre der Ausdruck in der geschweiften Klammer linkerhand ein solches —, welches die nachstehend hinter dem Summenzeichen angegebnen Eigenschaften besitzt — oder, um ganz aussagenrechnerisch vorzugehen, es gilt die Konklusion: [FORMEL] — wie man durch die ersichtlichen Folgerungen aus dem ersten Aussagen- faktor, sodann durch den Subsumtionsschluss successive ersieht [und nach dem Tautologiegesetze der Aussagenaddition ist das Summenzeichen unter- drückbar gewesen, sobald der allgemeine Summand konstant in Hinsicht der Summationsvariabeln u wurde — wodurch der Eindruck entsteht, als ob man beim Folgern die Summe ⋹ ihrem Gliede verkehrterweise gesetzt hätte!]. Mithin ist die zuletzt gefolgerte Subsumtion bewiesen. Andrerseits gibt D 46, mit a beiderseits relativ vormultiplizirt eine Folgerung, welche mit D 50 vereinigt lautet: a ; {a ; (a0 ; b)} + a ; b ⋹ a ; (a0 ; b) und wiederum die Form der Prämisse von D 47 zeigt, indem nur das dor- tige b hier durch a ; b, das c durch die rechte Seite vertreten erscheint. Nach dem Schema der Konklusion jenes Satzes muss also sein: a0 ; (a ; b) ⋹ a ; (a0 ; b),

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 374. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/388>, abgerufen am 13.05.2024.