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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 23. Hinweg durch Dedekind's Kettentheorie.

dieses Pu sein muss, weshalb ihm dieses eingeordnet. Letztre Subsumtion
nun, mit oben gefundenem
[Formel 1] übermultiplizirt, liefert dazu noch die Konklusion: L R, womit im Ganzen
L = R bewiesen ist.

D 49. a ; b a ; (a0 ; b) versteht sich durch beiderseitiges relatives
Vormultipliziren mit a aus D 45 und sollte als ein so unmittelbares Korollar
hiezu -- wie schon gesagt -- gar nicht registrirt sein -- so wenig man
z. B. in der Geometrie den Satz c2n = (a2 + b2)n -- um nicht zu sagen
nc2 = na2 + nb2 -- neben dem Pythagoreischen aufführen wird.

D 50. a ; b a0 ; b. Das a-Bild von b ist Teil der a-Kette von b.

Beweis a fortiori aus dem (hier erstmals zu erwähnenden) Korollar
a ; b a ; a0 ; b (D 49) zu D 45 in Verbindung mit D 46.

D 51. (a ; b b) = (a0 ; b = b). Ist b Kette inbezug auf a, so ist
auch b die a-Kette von sich selber, und umgekehrt.

Beweis. D 47 gibt (a ; b + b b), = (a ; b b), (a0 ; b b), was
mit D 45 zur Gleichung a0 ; b = b verschmilzt. Die Umkehrung folgt aus
D 50. Man entschuldige diese Wiederholung aus dem "Herwege".

D 52, 53 ... (b c) (b a0 ; c) (a0 ; b a0 ; c). Der Teil
gleichwie seine a-Kette ist auch in der a-Kette des Ganzen enthalten.

Beweis. Nach D 45 ist c a0 ; c, mithin folgt aus b c a fortiori
auch b a0 ; c.

Sei nun b a0 ; c (wenn auch vielleicht nicht b c), so kann dies mit
dem nach D 46 geltenden a ; (a0 ; c) a0 ; c zusammengezogen werden zu:
a ; (a0 ; c) + b a0 ; c und liefert nach D 47 (a0 ; c für c gesagt) die Folge-
rung a0 ; b a0 ; c, q. e. d.

D 55. (b a0 ; c) (a ; b a0 ; c). [Wortlaut siehe unter 10).]

Hiefür gibt Dedekind zwei Beweise an.

Beweis 1. Nach D 53 haben wir aus der Prämisse bereits gefolgert:
a0 ; b a0 ; c, und dies mit D 50 zusammengehalten liefert a fortiori die
Konklusion.

Beweis 2. Aus der Prämisse folgt a ; b a ; a0 ; c, letztres aber ist
a0 ; c nach D 46. Oder, nur etwas anders gewendet: Laut Prämisse und
D 46 haben wir: a ; (a0 ; c) + b a0 ; c, woraus die Konklusion auch nach
D 40 fliesst.

Wollte man die Zahl der kleinen Sätze noch vermehren, so könnte
man als Zusatz zu D 55 den aus letzterm und D 52 a fortiori folgenden
Satz anfügen:
(b c) (a ; b a0 ; c).

An dieser Stelle kann jetzt schon der aus S. 366 zu wiederholende
Beweis des Satzes D 59 geliefert werden -- wenngleich die Bedeutung
des letzteren als Grundlage des Satzes der vollständigen Induktion erst
etwas später verständlich wird. Der Satz ist damit erstmals strenge,

§ 23. Hinweg durch Dedekind’s Kettentheorie.

dieses Πu sein muss, weshalb ihm dieses eingeordnet. Letztre Subsumtion
nun, mit oben gefundenem
[Formel 1] übermultiplizirt, liefert dazu noch die Konklusion: L ⋹ R, womit im Ganzen
L = R bewiesen ist.

D 49. a ; b ⋹ a ; (a0 ; b) versteht sich durch beiderseitiges relatives
Vormultipliziren mit a aus D 45 und sollte als ein so unmittelbares Korollar
hiezu — wie schon gesagt — gar nicht registrirt sein — so wenig man
z. B. in der Geometrie den Satz c2n = (a2 + b2)n — um nicht zu sagen
nc2 = na2 + nb2 — neben dem Pythagoreischen aufführen wird.

D 50. a ; b ⋹ a0 ; b. Das a-Bild von b ist Teil der a-Kette von b.

Beweis a fortiori aus dem (hier erstmals zu erwähnenden) Korollar
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D 51. (a ; b ⋹ b) = (a0 ; b = b). Ist b Kette inbezug auf a, so ist
auch b die a-Kette von sich selber, und umgekehrt.

Beweis. D 47 gibt (a ; b + b ⋹ b), = (a ; b ⋹ b), ⋹ (a0 ; b ⋹ b), was
mit D 45 zur Gleichung a0 ; b = b verschmilzt. Die Umkehrung folgt aus
D 50. Man entschuldige diese Wiederholung aus dem „Herwege“.

D 52, 53 … (b ⋹ c) ⋹ (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c). Der Teil
gleichwie seine a-Kette ist auch in der a-Kette des Ganzen enthalten.

Beweis. Nach D 45 ist c ⋹ a0 ; c, mithin folgt aus b ⋹ c a fortiori
auch b ⋹ a0 ; c.

Sei nun b ⋹ a0 ; c (wenn auch vielleicht nicht b ⋹ c), so kann dies mit
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D 55. (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a ; b ⋹ a0 ; c). [Wortlaut siehe unter 10).]

Hiefür gibt Dedekind zwei Beweise an.

Beweis 1. Nach D 53 haben wir aus der Prämisse bereits gefolgert:
a0 ; b ⋹ a0 ; c, und dies mit D 50 zusammengehalten liefert a fortiori die
Konklusion.

Beweis 2. Aus der Prämisse folgt a ; b ⋹ a ; a0 ; c, letztres aber ist
⋹ a0 ; c nach D 46. Oder, nur etwas anders gewendet: Laut Prämisse und
D 46 haben wir: a ; (a0 ; c) + b ⋹ a0 ; c, woraus die Konklusion auch nach
D 40 fliesst.

Wollte man die Zahl der kleinen Sätze noch vermehren, so könnte
man als Zusatz zu D 55 den aus letzterm und D 52 a fortiori folgenden
Satz anfügen:
(b ⋹ c) ⋹ (a ; b ⋹ a0 ; c).

An dieser Stelle kann jetzt schon der aus S. 366 zu wiederholende
Beweis des Satzes D 59 geliefert werden — wenngleich die Bedeutung
des letzteren als Grundlage des Satzes der vollständigen Induktion erst
etwas später verständlich wird. Der Satz ist damit erstmals strenge,

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[373/0387] § 23. Hinweg durch Dedekind’s Kettentheorie. dieses Πu sein muss, weshalb ihm dieses eingeordnet. Letztre Subsumtion nun, mit oben gefundenem [FORMEL] übermultiplizirt, liefert dazu noch die Konklusion: L ⋹ R, womit im Ganzen L = R bewiesen ist. D 49. a ; b ⋹ a ; (a0 ; b) versteht sich durch beiderseitiges relatives Vormultipliziren mit a aus D 45 und sollte als ein so unmittelbares Korollar hiezu — wie schon gesagt — gar nicht registrirt sein — so wenig man z. B. in der Geometrie den Satz c2n = (a2 + b2)n — um nicht zu sagen nc2 = na2 + nb2 — neben dem Pythagoreischen aufführen wird. D 50. a ; b ⋹ a0 ; b. Das a-Bild von b ist Teil der a-Kette von b. Beweis a fortiori aus dem (hier erstmals zu erwähnenden) Korollar a ; b ⋹ a ; a0 ; b (D 49) zu D 45 in Verbindung mit D 46. D 51. (a ; b ⋹ b) = (a0 ; b = b). Ist b Kette inbezug auf a, so ist auch b die a-Kette von sich selber, und umgekehrt. Beweis. D 47 gibt (a ; b + b ⋹ b), = (a ; b ⋹ b), ⋹ (a0 ; b ⋹ b), was mit D 45 zur Gleichung a0 ; b = b verschmilzt. Die Umkehrung folgt aus D 50. Man entschuldige diese Wiederholung aus dem „Herwege“. D 52, 53 … (b ⋹ c) ⋹ (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c). Der Teil gleichwie seine a-Kette ist auch in der a-Kette des Ganzen enthalten. Beweis. Nach D 45 ist c ⋹ a0 ; c, mithin folgt aus b ⋹ c a fortiori auch b ⋹ a0 ; c. Sei nun b ⋹ a0 ; c (wenn auch vielleicht nicht b ⋹ c), so kann dies mit dem nach D 46 geltenden a ; (a0 ; c) ⋹ a0 ; c zusammengezogen werden zu: a ; (a0 ; c) + b ⋹ a0 ; c und liefert nach D 47 (a0 ; c für c gesagt) die Folge- rung a0 ; b ⋹ a0 ; c, q. e. d. D 55. (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a ; b ⋹ a0 ; c). [Wortlaut siehe unter 10).] Hiefür gibt Dedekind zwei Beweise an. Beweis 1. Nach D 53 haben wir aus der Prämisse bereits gefolgert: a0 ; b ⋹ a0 ; c, und dies mit D 50 zusammengehalten liefert a fortiori die Konklusion. Beweis 2. Aus der Prämisse folgt a ; b ⋹ a ; a0 ; c, letztres aber ist ⋹ a0 ; c nach D 46. Oder, nur etwas anders gewendet: Laut Prämisse und D 46 haben wir: a ; (a0 ; c) + b ⋹ a0 ; c, woraus die Konklusion auch nach D 40 fliesst. Wollte man die Zahl der kleinen Sätze noch vermehren, so könnte man als Zusatz zu D 55 den aus letzterm und D 52 a fortiori folgenden Satz anfügen: (b ⋹ c) ⋹ (a ; b ⋹ a0 ; c). An dieser Stelle kann jetzt schon der aus S. 366 zu wiederholende Beweis des Satzes D 59 geliefert werden — wenngleich die Bedeutung des letzteren als Grundlage des Satzes der vollständigen Induktion erst etwas später verständlich wird. Der Satz ist damit erstmals strenge,

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 373. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/387>, abgerufen am 14.05.2024.

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