was die umgekehrte Subsumtion der vorhin bewiesenen ist. Damit ist also nunmehr die Gleichung gerechtfertigt, welche uns zu beweisen oblag.
D 58. a0 ; b = b + a00 ; b, d. h. die a-Kette eines Relativs b setzt sich zusammen aus diesem Relativ selbst und seiner a-Bildkette.
Beweis. Die fortan einfacher als a00 ; ba ; b zu schreibende Sub- sumtion D 46 zieht sich mit der D 45 zusammen zu: b + a00 ; ba0 ; b.
Sonach bleibt nur noch die rückwärtige Subsumtion darzuthun. Zu dem Ende mögen wir die vorletzte Subsumtion des vorhin bei D 57 ge- gebnen Beweises jetzt kürzer schreiben als: a ; (a00 ; b + b) a00 ; b, was seinerseits a00 ; b + b, und mögen sie mit der selbstverständlichen ba00 ; b + b zusammenziehen zu: a ; (a00 ; b + b) + ba00 ; b + b, was nach dem Schema des D 47, worin nur c durch die rechte Seite ver- treten erscheint, die Konklusion liefert: a0 ; ba00 ; b + b, deren Nachweis allein noch zu erbringen gewesen, q. e. d.
Aufgrund dieses Satzes D 58 könnte jetzt, wie S. 361 unter 0) gezeigt, die Zusammensetzungsweise der Namen a0 ; b und a00 ; b nach- träglich gerechtfertigt, es könnten a0 und a00 selbst als Relative er- klärt werden -- freilich in Gestalt von unendlichen Reihen, deren Bil- dungsgesetz nur mittelst Schlusses von n auf n + 1 gerechtfertigt werden kann, welcher Schluss ja aber nun das volle Bürgerrecht in unsrer Disziplin erlangt hat. Damit hätte unser "Hinweg" im Wesentlichen sein Ende erreicht.
Interessant ist es aber noch, zu sehen, wie sich auch bevor man noch das mit dem Namen "a0 ; b" provisorisch (oder vorgreifend) bezeichnete Relativ als ein relatives Produkt aus a0 in b erkannt und nachgewiesen hat, die beiden Sätze D 61 und 62 nach Dedekind doch aus dessen Theorie beweisen lassen.
Zu D 61. a0 ; (b + c + ...) = a0 ; b + a0 ; c + ... hat man: a ; (a0 ; b + a0 ; c + ...) + (b + c + ...) a0 ; b + a0 ; c + ... -- als Zusammenfassung der in D 46 und 45 enthaltenen auf b, c, ... (statt b) angewandten Einzelsätze, wobei sich für die Einordnung des ersten Gliedes linkerhand auch D 42 anziehen lässt. Und nach dem Schema von D 47 folgt daraus der Schluss: a0 ; (b + c + ...) a0 ; b + a0 ; c + ....
Andrerseits ist wegen bb + c + ..., cb + c + ..., ... gemäss dem in D 52, 53 a fortiori mitenthaltnen Schema D 54:
§ 23. Hinweg durch Dedekind’s Kettentheorie.
was die umgekehrte Subsumtion der vorhin bewiesenen ist. Damit ist also nunmehr die Gleichung gerechtfertigt, welche uns zu beweisen oblag.
D 58. a0 ; b = b + a00 ; b, d. h. die a-Kette eines Relativs b setzt sich zusammen aus diesem Relativ selbst und seiner a-Bildkette.
Beweis. Die fortan einfacher als a00 ; b ⋹ a ; b zu schreibende Sub- sumtion D 46 zieht sich mit der D 45 zusammen zu: b + a00 ; b ⋹ a0 ; b.
Sonach bleibt nur noch die rückwärtige Subsumtion darzuthun. Zu dem Ende mögen wir die vorletzte Subsumtion des vorhin bei D 57 ge- gebnen Beweises jetzt kürzer schreiben als: a ; (a00 ; b + b) ⋹ a00 ; b, was seinerseits ⋹ a00 ; b + b, und mögen sie mit der selbstverständlichen b ⋹ a00 ; b + b zusammenziehen zu: a ; (a00 ; b + b) + b ⋹ a00 ; b + b, was nach dem Schema des D 47, worin nur c durch die rechte Seite ver- treten erscheint, die Konklusion liefert: a0 ; b ⋹ a00 ; b + b, deren Nachweis allein noch zu erbringen gewesen, q. e. d.
Aufgrund dieses Satzes D 58 könnte jetzt, wie S. 361 unter 0) gezeigt, die Zusammensetzungsweise der Namen a0 ; b und a00 ; b nach- träglich gerechtfertigt, es könnten a0 und a00 selbst als Relative er- klärt werden — freilich in Gestalt von unendlichen Reihen, deren Bil- dungsgesetz nur mittelst Schlusses von n auf n + 1 gerechtfertigt werden kann, welcher Schluss ja aber nun das volle Bürgerrecht in unsrer Disziplin erlangt hat. Damit hätte unser „Hinweg“ im Wesentlichen sein Ende erreicht.
Interessant ist es aber noch, zu sehen, wie sich auch bevor man noch das mit dem Namen „a0 ; b“ provisorisch (oder vorgreifend) bezeichnete Relativ als ein relatives Produkt aus a0 in b erkannt und nachgewiesen hat, die beiden Sätze D 61 und 62 nach Dedekind doch aus dessen Theorie beweisen lassen.
Zu D 61. a0 ; (b + c + …) = a0 ; b + a0 ; c + … hat man: a ; (a0 ; b + a0 ; c + …) + (b + c + …) ⋹ a0 ; b + a0 ; c + … — als Zusammenfassung der in D 46 und 45 enthaltenen auf b, c, … (statt b) angewandten Einzelsätze, wobei sich für die Einordnung des ersten Gliedes linkerhand auch D 42 anziehen lässt. Und nach dem Schema von D 47 folgt daraus der Schluss: a0 ; (b + c + …) ⋹ a0 ; b + a0 ; c + ….
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[375/0389]
§ 23. Hinweg durch Dedekind’s Kettentheorie.
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nunmehr die Gleichung gerechtfertigt, welche uns zu beweisen oblag.
D 58. a0 ; b = b + a00 ; b,
d. h. die a-Kette eines Relativs b setzt sich zusammen aus diesem Relativ
selbst und seiner a-Bildkette.
Beweis. Die fortan einfacher als a00 ; b ⋹ a ; b zu schreibende Sub-
sumtion D 46 zieht sich mit der D 45 zusammen zu:
b + a00 ; b ⋹ a0 ; b.
Sonach bleibt nur noch die rückwärtige Subsumtion darzuthun. Zu
dem Ende mögen wir die vorletzte Subsumtion des vorhin bei D 57 ge-
gebnen Beweises jetzt kürzer schreiben als:
a ; (a00 ; b + b) ⋹ a00 ; b, was seinerseits ⋹ a00 ; b + b,
und mögen sie mit der selbstverständlichen b ⋹ a00 ; b + b zusammenziehen zu:
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was nach dem Schema des D 47, worin nur c durch die rechte Seite ver-
treten erscheint, die Konklusion liefert:
a0 ; b ⋹ a00 ; b + b,
deren Nachweis allein noch zu erbringen gewesen, q. e. d.
Aufgrund dieses Satzes D 58 könnte jetzt, wie S. 361 unter 0)
gezeigt, die Zusammensetzungsweise der Namen a0 ; b und a00 ; b nach-
träglich gerechtfertigt, es könnten a0 und a00 selbst als Relative er-
klärt werden — freilich in Gestalt von unendlichen Reihen, deren Bil-
dungsgesetz nur mittelst Schlusses von n auf n + 1 gerechtfertigt werden
kann, welcher Schluss ja aber nun das volle Bürgerrecht in unsrer
Disziplin erlangt hat. Damit hätte unser „Hinweg“ im Wesentlichen
sein Ende erreicht.
Interessant ist es aber noch, zu sehen, wie sich auch bevor man noch
das mit dem Namen „a0 ; b“ provisorisch (oder vorgreifend) bezeichnete
Relativ als ein relatives Produkt aus a0 in b erkannt und nachgewiesen
hat, die beiden Sätze D 61 und 62 nach Dedekind doch aus dessen
Theorie beweisen lassen.
Zu D 61. a0 ; (b + c + …) = a0 ; b + a0 ; c + … hat man:
a ; (a0 ; b + a0 ; c + …) + (b + c + …) ⋹ a0 ; b + a0 ; c + …
— als Zusammenfassung der in D 46 und 45 enthaltenen auf b, c, …
(statt b) angewandten Einzelsätze, wobei sich für die Einordnung des ersten
Gliedes linkerhand auch D 42 anziehen lässt. Und nach dem Schema von
D 47 folgt daraus der Schluss:
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Andrerseits ist wegen b ⋹ b + c + …, c ⋹ b + c + …, … gemäss
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 375. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/389>, abgerufen am 14.05.2024.
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