Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Neunte Vorlesung.

Liessen wir im vorstehenden Texte die Bestimmung „von a₀ ; b“
weg, so hätten wir die verbale Übertragung und Nutzanwendung von
D 47 vor uns. Auch diese Formel kann in der That schon dazu ver-
wendet werden, um eine Behauptung, Thesis a₀ ; b ⋹ c rechtskräftig zu
begründen und zwar aufgrund der beiden Nachweise, dass erstens
b ⋹ c und zweitens a ; c ⋹ c sei.

Diese zweite Teilforderung der Hypothesis ist aber — wegen
(a₀ ; b)c ⋹ c — bei D 47 eine weiter gehende, als bei D 59. Bei Weg-
lassung jener Bestimmung wird behufs Etablirung der Thesis mehr,
als unbedingt nötig ist, zu leisten verlangt; das Theorem D 59 begnügt
sich dem D 47 gegenüber mit formell geringeren Voraussetzungen, die
man als erfüllte noch wird nachzuweisen haben. Und wenn demnach
in manchen Fällen vielleicht auch schon das Theorem D 47 zur Er-
reichung des Zieles ausreicht, so wird man doch im Allgemeinen nur
das Theorem D 59 als den logischen Kern des Schlusses der vollstän-
digen Induktion hinstellen können.

Der „Hinweg“.

Hier muss ich zuvörderst den Leser bitten, den Namen „a₀ ; b“ als ein
einfaches oder unpräjudizirliches, nichtssagenwollendes Zeichen für ein von
a und b abhängig zu definirendes Relativ — wie meinetwegen x oder
höchstens φ(a, b) — gelten lassen und ansehen zu wollen, von der Art
also, wie jener Name sich zusammengesetzt zeigt, vorläufig ganz abzusehen!
Dass man berechtigt ist, gedachtes x als ein relatives Produkt in b, als
ein gewisses Relativ a₀ genommen von b hinzustellen und zu bezeichnen,
die Funktion φ(a, b) speziell in der Form a₀ ; b anzusetzen, wird sich erst
ganz am Schlusse der Untersuchung herausstellen — in der Weise, wie
wir es bereits unter 0) S. 361 geschildert haben. Solches aber von vorn-
herein zu thun, müsste bei unserm Gange beanstandet und als durch nichts
gerechtfertigt abgelehnt werden.

D 44 definirt die „a-Kette von b“ als ein von a und b abhängiges
— wie gesagt vorgreifend — mit „a₀ ; b“ bezeichnetes binäres Relativ,
und zwar als das identische Produkt Π nach u aller derjenigen Rela-
tive u des Denkbereiches 1², welche die in 3⁰) unter das (erste) Π-zeichen
gesetzte „Erstreckungsbedingung“ a ; u + b ⋹ u erfüllen. Da diese Be-
dingung in die beiden
a ; u ⋹ u und b ⋹ u
zerfällt, wovon die erstre fordert, dass u „Kette“ sei inbezug auf a,
die letztre aber, dass u auch b als einen Teil seinerselbst in sich
schliesse, so kann man die Definition mit Worten so ausdrücken:

Unter der a-Kette von b soll verstanden werden das identische Pro-
dukt (die „Gemeinheit“) aller der Ketten inbezug auf a, von welchen b
Teil ist.