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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 23. Zum Satz der vollständigen Induktion.
irgendwie (auch eventuell mit Auslassungen) zusammengesetzt ist. Solchen
Fall werden wir nachher ebenfalls berücksichtigen.

Dann stellt uns also a0 ; b wiederum die ganze Zahlenreihe vor.

Endlich bedeute nun das Relativ c die Gesamtheit, das "System"
der Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, m. a. W. für
die ein bestimmter Satz S, in welchem von einer unbestimmten Zahl n
die Rede ist, gilt.

Um nachzuweisen, dass der Satz S für alle Zahlen gelte, dass
nämlich a0 ; b c sei, genügt es dann nach D 59, zu zeigen:

erstens dass der Satz für die Zahl b = 1 gilt, dass also b c sei,

zweitens dass auch für das Bild a von jeder Zahl (n) für die unser
Satz S gilt -- welche Zahlen eben in dem Ausdrucke (a0) ; b)c zu-
sammengefasst erscheinen -- dieser Satz gelten müsse, d. h. also, dass
auch a ; (a0 ; b)c c sein müsse. Gemeinhin zu reden wird damit zu
zeigen gewesen sein, dass, sobald der Satz für eine bestimmte Zahl n
gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1 gelten müsse.

Stellt uns dagegen -- noch allgemeiner -- b eine bestimmte Zahl m
vor, oder auch irgend ein System von Zahlen, welches als die niederste
die Zahl m in sich schliesst, so wird a0 ; b die Gesamtheit der Zahlen
von m an vorstellen.

Um zu beweisen, dass ein Satz S für alle Zahlen dieser Reihe m,
m + 1, m + 2, ... in infinitum gelte, muss es dann genügen, "erstens"
zu zeigen, dass er für die Zahlen des Systems b gelte, ja ist es blos
erforderlich, seine Geltung für die Zahl (b =)m selbst darzuthun, und
"zweitens" etc. (Wortlaut wie vorhin). [Für die Zahlen unterhalb m
braucht der Satz dann überhaupt nicht zu gelten.]

Hiermit dürfte denn die als D 60 von Herrn Dedekind gegebne
Erläuterung über die Bedeutung und Tragweite des Satzes D 59 bei-
gebracht sein. Rekapituliren wir nochmals thunlichst mit den Worten
des genannten Autors: D 60. Um zu beweisen, dass alle Elemente der
Kette a0 ; b eine gewisse Eigenschaft E besitzen, genügt es zu zeigen,

erstens dass alle Elemente von b die Eigenschaft E besitzen,

zweitens dass dem Bilde a ; n jedes solchen Elements n "von a0 ; b",
welches die Eigenschaft E besitzt, dieselbe Eigenschaft zukommt.

Unter c brauchte man hiebei blos das System aller Elemente,
welche diese Eigenschaft E besitzen, zu verstehen, um D 60 als die
verbale Übersetzung der Formel D 59 zu erkennen.

Hiezu jedoch dürfte noch eine Bemerkung nicht überflüssig er-
scheinen, welche durch die Vergleichung von D 59 mit D 47 nahe
gelegt wird.


Schröder, Algebra der Relative. 24

§ 23. Zum Satz der vollständigen Induktion.
irgendwie (auch eventuell mit Auslassungen) zusammengesetzt ist. Solchen
Fall werden wir nachher ebenfalls berücksichtigen.

Dann stellt uns also a0 ; b wiederum die ganze Zahlenreihe vor.

Endlich bedeute nun das Relativ c die Gesamtheit, das „System“
der Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, m. a. W. für
die ein bestimmter Satz S, in welchem von einer unbestimmten Zahl n
die Rede ist, gilt.

Um nachzuweisen, dass der Satz S für alle Zahlen gelte, dass
nämlich a0 ; b ⋹ c sei, genügt es dann nach D 59, zu zeigen:

erstens dass der Satz für die Zahl b = 1̇ gilt, dass also b ⋹ c sei,

zweitens dass auch für das Bild a von jeder Zahl (n) für die unser
Satz S gilt — welche Zahlen eben in dem Ausdrucke (a0) ; b)c zu-
sammengefasst erscheinen — dieser Satz gelten müsse, d. h. also, dass
auch a ; (a0 ; b)c ⋹ c sein müsse. Gemeinhin zu reden wird damit zu
zeigen gewesen sein, dass, sobald der Satz für eine bestimmte Zahl n
gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1̇ gelten müsse.

Stellt uns dagegen — noch allgemeiner — b eine bestimmte Zahl m
vor, oder auch irgend ein System von Zahlen, welches als die niederste
die Zahl m in sich schliesst, so wird a0 ; b die Gesamtheit der Zahlen
von m an vorstellen.

Um zu beweisen, dass ein Satz S für alle Zahlen dieser Reihe m,
m + 1̇, m + 2, … in infinitum gelte, muss es dann genügen, „erstens“
zu zeigen, dass er für die Zahlen des Systems b gelte, ja ist es blos
erforderlich, seine Geltung für die Zahl (b =)m selbst darzuthun, und
„zweitens“ etc. (Wortlaut wie vorhin). [Für die Zahlen unterhalb m
braucht der Satz dann überhaupt nicht zu gelten.]

Hiermit dürfte denn die als D 60 von Herrn Dedekind gegebne
Erläuterung über die Bedeutung und Tragweite des Satzes D 59 bei-
gebracht sein. Rekapituliren wir nochmals thunlichst mit den Worten
des genannten Autors: D 60. Um zu beweisen, dass alle Elemente der
Kette a0 ; b eine gewisse Eigenschaft E besitzen, genügt es zu zeigen,

erstens dass alle Elemente von b die Eigenschaft E besitzen,

zweitens dass dem Bilde a ; n jedes solchen Elements n „von a0 ; b“,
welches die Eigenschaft E besitzt, dieselbe Eigenschaft zukommt.

Unter c brauchte man hiebei blos das System aller Elemente,
welche diese Eigenschaft E besitzen, zu verstehen, um D 60 als die
verbale Übersetzung der Formel D 59 zu erkennen.

Hiezu jedoch dürfte noch eine Bemerkung nicht überflüssig er-
scheinen, welche durch die Vergleichung von D 59 mit D 47 nahe
gelegt wird.


Schröder, Algebra der Relative. 24
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[369/0383] § 23. Zum Satz der vollständigen Induktion. irgendwie (auch eventuell mit Auslassungen) zusammengesetzt ist. Solchen Fall werden wir nachher ebenfalls berücksichtigen. Dann stellt uns also a0 ; b wiederum die ganze Zahlenreihe vor. Endlich bedeute nun das Relativ c die Gesamtheit, das „System“ der Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, m. a. W. für die ein bestimmter Satz S, in welchem von einer unbestimmten Zahl n die Rede ist, gilt. Um nachzuweisen, dass der Satz S für alle Zahlen gelte, dass nämlich a0 ; b ⋹ c sei, genügt es dann nach D 59, zu zeigen: erstens dass der Satz für die Zahl b = 1̇ gilt, dass also b ⋹ c sei, zweitens dass auch für das Bild a von jeder Zahl (n) für die unser Satz S gilt — welche Zahlen eben in dem Ausdrucke (a0) ; b)c zu- sammengefasst erscheinen — dieser Satz gelten müsse, d. h. also, dass auch a ; (a0 ; b)c ⋹ c sein müsse. Gemeinhin zu reden wird damit zu zeigen gewesen sein, dass, sobald der Satz für eine bestimmte Zahl n gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1̇ gelten müsse. Stellt uns dagegen — noch allgemeiner — b eine bestimmte Zahl m vor, oder auch irgend ein System von Zahlen, welches als die niederste die Zahl m in sich schliesst, so wird a0 ; b die Gesamtheit der Zahlen von m an vorstellen. Um zu beweisen, dass ein Satz S für alle Zahlen dieser Reihe m, m + 1̇, m + 2, … in infinitum gelte, muss es dann genügen, „erstens“ zu zeigen, dass er für die Zahlen des Systems b gelte, ja ist es blos erforderlich, seine Geltung für die Zahl (b =)m selbst darzuthun, und „zweitens“ etc. (Wortlaut wie vorhin). [Für die Zahlen unterhalb m braucht der Satz dann überhaupt nicht zu gelten.] Hiermit dürfte denn die als D 60 von Herrn Dedekind gegebne Erläuterung über die Bedeutung und Tragweite des Satzes D 59 bei- gebracht sein. Rekapituliren wir nochmals thunlichst mit den Worten des genannten Autors: D 60. Um zu beweisen, dass alle Elemente der Kette a0 ; b eine gewisse Eigenschaft E besitzen, genügt es zu zeigen, erstens dass alle Elemente von b die Eigenschaft E besitzen, zweitens dass dem Bilde a ; n jedes solchen Elements n „von a0 ; b“, welches die Eigenschaft E besitzt, dieselbe Eigenschaft zukommt. Unter c brauchte man hiebei blos das System aller Elemente, welche diese Eigenschaft E besitzen, zu verstehen, um D 60 als die verbale Übersetzung der Formel D 59 zu erkennen. Hiezu jedoch dürfte noch eine Bemerkung nicht überflüssig er- scheinen, welche durch die Vergleichung von D 59 mit D 47 nahe gelegt wird. Schröder, Algebra der Relative. 24

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 369. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/383>, abgerufen am 14.05.2024.