aus der ersten von ihnen als der "Grundzahl" 1 der Zahlenreihe ent- stehen lässt. Dies Abbildungsprinzip ist das Relativ: a = "um 1 grösser als-".
Die auf 1 folgenden Zahlen sind also m. a. W. wie folgt definirt zu denken: die "Zahl" zwei als "um 1 grösser als 1", das ist: 2 = 1 + 1, und ebenso 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, ... -- wo die Pluszeichen als arithmetische aufzufassen -- oder in der Bezeichnungsweise unsrer Disziplin: 2 = a ; 1, 3 = a ; 2, 4 = a ; 3, ... d. h. jede Zahl ist definirt als das "a-Bild" ihres Vorgängers -- aus- genommen die Grundzahl 1 selbst, welche bei der Beschränkung, die wir oben dem Denkbereiche auferlegten, keinen Vorgänger besitzt.
Die Matrix dieses binären Relativs a ist beiläufig gesagt so beschaffen: sie hat die erste Zeile zur Leerzeile, in jeder folgenden Zeile aber ein (und nur ein) Auge, und zwar an derjenigen Stelle, welche der links von (sive unterhalb) der Hauptdiagonale dieser am nächsten stehende Gitterpunkt ist.
Die ganze Zahlenreihe, oder das Zahlensystem (schlechtweg), als der Inbegriff, die Gesamtheit oder identische (aber nicht arithmetische!) Summe aller Zahlenindividuen, stellt sich hiernach dar als die a-Kette der Grundzahl 1. M. a. W. es ist der Modul: 1 = a0 ; 1.
Überhaupt ist die a-Kette von irgend einer Zahl weiter nichts als die Gesamtheit der Zahlen, welche sich von ihr an (mithin sie selber eingerechnet) in der Zahlenreihe finden: a0 ; i = i + (i + 1) + (i + 2) + (i + 3) + ... -- wogegen die "a-Bildkette" solcher Zahl i: a00 ; i = (i + 1) + (i + 2) + (i + 3) + ... der Inbegriff der Zahlen von ihr ab (mit Ausschluss ihrerselbst) sein würde.
Dies vorausgesetzt bedeute jetzt das Relativ b etwa das Element 1 selbst, sei also: b = 1.
Diese Deutung genügt zunächst für die speziellste Anwendungsweise des Induktionsschlusses, welche darauf abzielt die Überzeugung herbeizu- führen, dass, wenn ein Satz für die Zahl 1 gilt, und wenn, sooft er für eine Zahl n gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1 oder a ; n gelten muss, er dann schlechtweg für alle Zahlen gelten müsse. Für eine formell etwas allgemeinere Anwendungsweise des Induktionsschlusses kann jedoch b auch eine höhere Zahl als 1 vorstellen, überhaupt sogar irgend ein (end- liches oder unendliches) "System" von Zahlen bedeuten, z. B. ein solches, welches aus gewissen Zahlen -- von m einschliesslich, eventuell bis incl. r --
Neunte Vorlesung.
aus der ersten von ihnen als der „Grundzahl“ 1̇ der Zahlenreihe ent- stehen lässt. Dies Abbildungsprinzip ist das Relativ: a = „um 1̇ grösser als-“.
Die auf 1̇ folgenden Zahlen sind also m. a. W. wie folgt definirt zu denken: die „Zahl“ zwei als „um 1̇ grösser als 1̇“, das ist: 2 = 1̇ + 1̇, und ebenso 3 = 2 + 1̇, 4 = 3 + 1̇, … — wo die Pluszeichen als arithmetische aufzufassen — oder in der Bezeichnungsweise unsrer Disziplin: 2 = a ; 1̇, 3 = a ; 2, 4 = a ; 3, … d. h. jede Zahl ist definirt als das „a-Bild“ ihres Vorgängers — aus- genommen die Grundzahl 1̇ selbst, welche bei der Beschränkung, die wir oben dem Denkbereiche auferlegten, keinen Vorgänger besitzt.
Die Matrix dieses binären Relativs a ist beiläufig gesagt so beschaffen: sie hat die erste Zeile zur Leerzeile, in jeder folgenden Zeile aber ein (und nur ein) Auge, und zwar an derjenigen Stelle, welche der links von (sive unterhalb) der Hauptdiagonale dieser am nächsten stehende Gitterpunkt ist.
Die ganze Zahlenreihe, oder das Zahlensystem (schlechtweg), als der Inbegriff, die Gesamtheit oder identische (aber nicht arithmetische!) Summe aller Zahlenindividuen, stellt sich hiernach dar als die a-Kette der Grundzahl 1̇. M. a. W. es ist der Modul: 1 = a0 ; 1̇.
Überhaupt ist die a-Kette von irgend einer Zahl weiter nichts als die Gesamtheit der Zahlen, welche sich von ihr an (mithin sie selber eingerechnet) in der Zahlenreihe finden: a0 ; i = i + (i + 1̇) + (i + 2) + (i + 3) + … — wogegen die „a-Bildkette“ solcher Zahl i: a00 ; i = (i + 1̇) + (i + 2) + (i + 3) + … der Inbegriff der Zahlen von ihr ab (mit Ausschluss ihrerselbst) sein würde.
Dies vorausgesetzt bedeute jetzt das Relativ b etwa das Element 1̇ selbst, sei also: b = 1̇.
Diese Deutung genügt zunächst für die speziellste Anwendungsweise des Induktionsschlusses, welche darauf abzielt die Überzeugung herbeizu- führen, dass, wenn ein Satz für die Zahl 1̇ gilt, und wenn, sooft er für eine Zahl n gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1̇ oder a ; n gelten muss, er dann schlechtweg für alle Zahlen gelten müsse. Für eine formell etwas allgemeinere Anwendungsweise des Induktionsschlusses kann jedoch b auch eine höhere Zahl als 1̇ vorstellen, überhaupt sogar irgend ein (end- liches oder unendliches) „System“ von Zahlen bedeuten, z. B. ein solches, welches aus gewissen Zahlen — von m einschliesslich, eventuell bis incl. r —
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Neunte Vorlesung.
aus der ersten von ihnen als der „Grundzahl“ 1̇ der Zahlenreihe ent-
stehen lässt. Dies Abbildungsprinzip ist das Relativ:
a = „um 1̇ grösser als-“.
Die auf 1̇ folgenden Zahlen sind also m. a. W. wie folgt definirt
zu denken: die „Zahl“ zwei als „um 1̇ grösser als 1̇“, das ist:
2 = 1̇ + 1̇, und ebenso 3 = 2 + 1̇, 4 = 3 + 1̇, …
— wo die Pluszeichen als arithmetische aufzufassen — oder in der
Bezeichnungsweise unsrer Disziplin: 2 = a ; 1̇, 3 = a ; 2, 4 = a ; 3, …
d. h. jede Zahl ist definirt als das „a-Bild“ ihres Vorgängers — aus-
genommen die Grundzahl 1̇ selbst, welche bei der Beschränkung, die
wir oben dem Denkbereiche auferlegten, keinen Vorgänger besitzt.
Die Matrix dieses binären Relativs a ist beiläufig gesagt so beschaffen:
sie hat die erste Zeile zur Leerzeile, in jeder folgenden Zeile aber ein (und
nur ein) Auge, und zwar an derjenigen Stelle, welche der links von (sive
unterhalb) der Hauptdiagonale dieser am nächsten stehende Gitterpunkt ist.
Die ganze Zahlenreihe, oder das Zahlensystem (schlechtweg), als
der Inbegriff, die Gesamtheit oder identische (aber nicht arithmetische!)
Summe aller Zahlenindividuen, stellt sich hiernach dar als die a-Kette
der Grundzahl 1̇. M. a. W. es ist der Modul:
1 = a0 ; 1̇.
Überhaupt ist die a-Kette von irgend einer Zahl weiter nichts als
die Gesamtheit der Zahlen, welche sich von ihr an (mithin sie selber
eingerechnet) in der Zahlenreihe finden:
a0 ; i = i + (i + 1̇) + (i + 2) + (i + 3) + …
— wogegen die „a-Bildkette“ solcher Zahl i:
a00 ; i = (i + 1̇) + (i + 2) + (i + 3) + …
der Inbegriff der Zahlen von ihr ab (mit Ausschluss ihrerselbst) sein
würde.
Dies vorausgesetzt bedeute jetzt das Relativ b etwa das Element 1̇
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b = 1̇.
Diese Deutung genügt zunächst für die speziellste Anwendungsweise
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auch eine höhere Zahl als 1̇ vorstellen, überhaupt sogar irgend ein (end-
liches oder unendliches) „System“ von Zahlen bedeuten, z. B. ein solches,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 368. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/382>, abgerufen am 14.05.2024.
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