Man hat z. B. a ; a00 = a ; (a + a ; a + a ; a ; a + ...) = a ; a + a ; a ; a + a ; a ; a ; a + ... a00 ; a00 = (a + a ; a + a ; a ; a + ...) ; (a + a ; a + a ; a ; a + ...) = = a ; a + a ; a ; a + a ; a ; a ; a + ..., welche Glieder hier allerdings zunehmend in tautologischer Wiederholung erhalten werden, sintemal man jedes Glied der einen Reihe im Geiste zu verknüpfen hat mit jedem Gliede der andern. Beidemal kommt mithin die Summe der zu a00 zusammengefassten Glieder vom ersten Gliede ab heraus (die man vielleicht auch a000 nennen könnte -- und so fort).
Bei 6) hat man ebenso: a ; a0 = a ; (1' + a + a ; a + ...) = a + a ; a + a ; a ; a + ... = a00, sintemal a ; 1' = a ist.
Zum Beweise von 7) braucht man nun die analoge Überlegung nicht nochmals zu machen, sondern kann den Satz auf den 5) zurückführen ohne nochmals mit unendlichen Reihen zu operiren -- wie folgt: a0 ; a0 = (1' + a00) ; (1' + a00) = 1' ; 1' + a00 ; 1' + 1' ; a00 + a00 ; a00 = = 1' + a00 + a00 ; a00 = 1' + a00 = a0, sintemal das dritte Glied der letzten Zeile wegen der mit 5) erwiesenen Subsumtion a00 ; a00a00 vom vorhergehenden absorbirt wird.
Man wolle übrigens a00 nicht etwa fälschlich auffassen als "Kette von a0", das ist (a0)0. Solchen Missverständnissen beugen beiläufig die Sätze vor: 8)
[Formel 1]
Es ist also die "Kette der Kette von a" nichts andres als die "Kette von a". Ebendarum wäre es thöricht, jene mit dem doppelten Suffix 00 darstellen zu wollen, und wird letzteres für andre Bezeichnungszwecke ver- fügbar. -- Die Sätze 8) wird sich der Leser leicht aus 7) und 5) recht- fertigen, z. B. es muss (a0)0 = 1' + a0 + a0 ; a0 + a0 ; a0 ; a0 + ... = 1' + (1' + a00) + a0 + a0 + ... = a0 sein. Etc. Die Operationen des Kette- oder Bildkettenehmens können an einer Bildkette oder Kette immer sogleich ausgeführt werden.
Zum Beweise von D 59 bedürfen wir nun blos der drei Sätze D 45, D 55 und D 47.
D 45 besagt: jedes Relativ b ist Teil der a-Kette von ihm selber, und versteht sich als der Satz: 9)
[Formel 2]
Neunte Vorlesung.
Man hat z. B. a ; a00 = a ; (a + a ; a + a ; a ; a + …) = a ; a + a ; a ; a + a ; a ; a ; a + … a00 ; a00 = (a + a ; a + a ; a ; a + …) ; (a + a ; a + a ; a ; a + …) = = a ; a + a ; a ; a + a ; a ; a ; a + …, welche Glieder hier allerdings zunehmend in tautologischer Wiederholung erhalten werden, sintemal man jedes Glied der einen Reihe im Geiste zu verknüpfen hat mit jedem Gliede der andern. Beidemal kommt mithin die Summe der zu a00 zusammengefassten Glieder vom ersten Gliede ab heraus (die man vielleicht auch a000 nennen könnte — und so fort).
Bei 6) hat man ebenso: a ; a0 = a ; (1' + a + a ; a + …) = a + a ; a + a ; a ; a + … = a00, sintemal a ; 1' = a ist.
Zum Beweise von 7) braucht man nun die analoge Überlegung nicht nochmals zu machen, sondern kann den Satz auf den 5) zurückführen ohne nochmals mit unendlichen Reihen zu operiren — wie folgt: a0 ; a0 = (1' + a00) ; (1' + a00) = 1' ; 1' + a00 ; 1' + 1' ; a00 + a00 ; a00 = = 1' + a00 + a00 ; a00 = 1' + a00 = a0, sintemal das dritte Glied der letzten Zeile wegen der mit 5) erwiesenen Subsumtion a00 ; a00 ⋹ a00 vom vorhergehenden absorbirt wird.
Man wolle übrigens a00 nicht etwa fälschlich auffassen als „Kette von a0“, das ist (a0)0. Solchen Missverständnissen beugen beiläufig die Sätze vor: 8)
[Formel 1]
Es ist also die „Kette der Kette von a“ nichts andres als die „Kette von a“. Ebendarum wäre es thöricht, jene mit dem doppelten Suffix 00 darstellen zu wollen, und wird letzteres für andre Bezeichnungszwecke ver- fügbar. — Die Sätze 8) wird sich der Leser leicht aus 7) und 5) recht- fertigen, z. B. es muss (a0)0 = 1' + a0 + a0 ; a0 + a0 ; a0 ; a0 + … = 1' + (1' + a00) + a0 + a0 + … = a0 sein. Etc. Die Operationen des Kette- oder Bildkettenehmens können an einer Bildkette oder Kette immer sogleich ausgeführt werden.
Zum Beweise von D 59 bedürfen wir nun blos der drei Sätze D 45, D 55 und D 47.
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Neunte Vorlesung.
Man hat z. B.
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Summe der zu a00 zusammengefassten Glieder vom ersten Gliede ab heraus
(die man vielleicht auch a000 nennen könnte — und so fort).
Bei 6) hat man ebenso:
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Zum Beweise von 7) braucht man nun die analoge Überlegung nicht
nochmals zu machen, sondern kann den Satz auf den 5) zurückführen ohne
nochmals mit unendlichen Reihen zu operiren — wie folgt:
a0 ; a0 = (1' + a00) ; (1' + a00) = 1' ; 1' + a00 ; 1' + 1' ; a00 + a00 ; a00 =
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Subsumtion a00 ; a00 ⋹ a00 vom vorhergehenden absorbirt wird.
Man wolle übrigens a00 nicht etwa fälschlich auffassen als „Kette
von a0“, das ist (a0)0. Solchen Missverständnissen beugen beiläufig die
Sätze vor:
8) [FORMEL]
Es ist also die „Kette der Kette von a“ nichts andres als die „Kette
von a“. Ebendarum wäre es thöricht, jene mit dem doppelten Suffix 00
darstellen zu wollen, und wird letzteres für andre Bezeichnungszwecke ver-
fügbar. — Die Sätze 8) wird sich der Leser leicht aus 7) und 5) recht-
fertigen, z. B. es muss
(a0)0 = 1' + a0 + a0 ; a0 + a0 ; a0 ; a0 + … = 1' + (1' + a00) + a0 + a0 + … = a0
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einer Bildkette oder Kette immer sogleich ausgeführt werden.
Zum Beweise von D 59 bedürfen wir nun blos der drei Sätze
D 45, D 55 und D 47.
D 45 besagt: jedes Relativ b ist Teil der a-Kette von ihm selber,
und versteht sich als der Satz:
9) [FORMEL]
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 362. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/376>, abgerufen am 14.05.2024.
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