§ 23. Die Kettentheorie auf dem Rückweg durchgegangen.
aus 3) sozusagen von selber; durch beiderseitiges relatives Multipliziren mit b folgt ja: 1' ; ba0 ; b also ba0 ; b, q. e. d.
Ebenso haben wir mit Rücksicht auf 6) und 4): (ba0 ; c) (a ; ba ; a0 ; c = a00 ; ca0 ; c) und damit D 55 bewiesen, oder den Satz: 10)
[Formel 1]
d. h. das a-Bild eines Teils b der a-Kette von c ist ebenfalls Teil von dieser.
Endlich der Satz D 47 gehört dem Gespanne an: 11)
[Formel 2]
und zerfällt dessen Prämisse in: (a ; cc)(bc).
Derselbe besagt deshalb: Ist b Teil einer Kette c inbezug auf a, so ist auch die a-Kette von b Teil dieser Kette c. Behufs Beweises ziehn wir aus der zweiten Prämisse, in stetem Hinblick auf die erste, die un- begrenzte Reihe von Schlüssen:
bc, a ; ba ; c, also a ; bc*), a ; a ; ba ; c, " a ; a ; bc, a ; a ; a ; ba ; c, " a ; a ; a ; bc, und so weiter . . . . . . . . . . . . .
Überschiebendes Addiren der linker- hand stehenden Folgerungen lie- fert dann -- mit Rücksicht auf b = 1' ; b -- die Konklusion: a0 ; bc.
Man sieht, dass bei diesem "und so weiter" der "Schluss von n auf n + 1" gemacht worden und in der That unentbehrlich ist.
Um ihn auf das schärfste als solchen hervortreten zu lassen, brauchen wir blos -- was für n = 1 und 2 schon zutrifft -- für ein bestimmtes n als erwiesen anzunehmen, dass aufgrund der Voraussetzungen unsres Satzes bereits an ; bc erwiesen sei, und darnach mittelst der Schlüsse: a ; an ; ba ; cc darzuthun, dass alsdann auch an + 1 ; bc gelten muss. Daraufhin ist nun die Folgerung an ; bc als eine für jede Zahl n gültige hinzustellen, indem, wenn sie für eine bestimmte Zahl gilt, sie immer auch für die nächst höhere gelten muss, und sie für n = 1 ja gilt (folglich auch für
*) Dieser Schluss ist die Wiederholung des bei D 40 gemachten, braucht aber für jetzt nicht gerade als ein Satz formulirt zu sein.
§ 23. Die Kettentheorie auf dem Rückweg durchgegangen.
aus 3) sozusagen von selber; durch beiderseitiges relatives Multipliziren mit b folgt ja: 1' ; b ⋹ a0 ; b also b ⋹ a0 ; b, q. e. d.
Ebenso haben wir mit Rücksicht auf 6) und 4): (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a ; b ⋹ a ; a0 ; c = a00 ; c ⋹ a0 ; c) und damit D 55 bewiesen, oder den Satz: 10)
[Formel 1]
d. h. das a-Bild eines Teils b der a-Kette von c ist ebenfalls Teil von dieser.
Endlich der Satz D 47 gehört dem Gespanne an: 11)
[Formel 2]
und zerfällt dessen Prämisse in: (a ; c ⋹ c)(b ⋹ c).
Derselbe besagt deshalb: Ist b Teil einer Kette c inbezug auf a, so ist auch die a-Kette von b Teil dieser Kette c. Behufs Beweises ziehn wir aus der zweiten Prämisse, in stetem Hinblick auf die erste, die un- begrenzte Reihe von Schlüssen:
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Überschiebendes Addiren der linker- hand stehenden Folgerungen lie- fert dann — mit Rücksicht auf b = 1' ; b — die Konklusion: a0 ; b ⋹ c.
Man sieht, dass bei diesem „und so weiter“ der „Schluss von n auf n + 1“ gemacht worden und in der That unentbehrlich ist.
Um ihn auf das schärfste als solchen hervortreten zu lassen, brauchen wir blos — was für n = 1 und 2 schon zutrifft — für ein bestimmtes n als erwiesen anzunehmen, dass aufgrund der Voraussetzungen unsres Satzes bereits an ; b ⋹ c erwiesen sei, und darnach mittelst der Schlüsse: a ; an ; b ⋹ a ; c ⋹ c darzuthun, dass alsdann auch an + 1 ; b ⋹ c gelten muss. Daraufhin ist nun die Folgerung an ; b ⋹ c als eine für jede Zahl n gültige hinzustellen, indem, wenn sie für eine bestimmte Zahl gilt, sie immer auch für die nächst höhere gelten muss, und sie für n = 1 ja gilt (folglich auch für
*) Dieser Schluss ist die Wiederholung des bei D 40 gemachten, braucht aber für jetzt nicht gerade als ein Satz formulirt zu sein.
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§ 23. Die Kettentheorie auf dem Rückweg durchgegangen.
aus 3) sozusagen von selber; durch beiderseitiges relatives Multipliziren
mit b folgt ja:
1' ; b ⋹ a0 ; b also b ⋹ a0 ; b, q. e. d.
Ebenso haben wir mit Rücksicht auf 6) und 4):
(b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a ; b ⋹ a ; a0 ; c = a00 ; c ⋹ a0 ; c)
und damit D 55 bewiesen, oder den Satz:
10) [FORMEL]
d. h. das a-Bild eines Teils b der a-Kette von c ist ebenfalls Teil von
dieser.
Endlich der Satz D 47 gehört dem Gespanne an:
11) [FORMEL]
und zerfällt dessen Prämisse in:
(a ; c ⋹ c)(b ⋹ c).
Derselbe besagt deshalb: Ist b Teil einer Kette c inbezug auf a,
so ist auch die a-Kette von b Teil dieser Kette c. Behufs Beweises ziehn
wir aus der zweiten Prämisse, in stetem Hinblick auf die erste, die un-
begrenzte Reihe von Schlüssen:
b⋹c, a ; b ⋹ a ; c, also
a ; b ⋹ c *), a ; a ; b ⋹ a ; c, „
a ; a ; b ⋹ c, a ; a ; a ; b ⋹ a ; c, „
a ; a ; a ; b ⋹ c, und so weiter
. . . . . . . . . . . . . Überschiebendes Addiren der linker-
hand stehenden Folgerungen lie-
fert dann — mit Rücksicht auf
b = 1' ; b — die Konklusion:
a0 ; b ⋹ c.
Man sieht, dass bei diesem „und so weiter“ der „Schluss von n auf
n + 1“ gemacht worden und in der That unentbehrlich ist.
Um ihn auf das schärfste als solchen hervortreten zu lassen, brauchen
wir blos — was für n = 1 und 2 schon zutrifft — für ein bestimmtes n
als erwiesen anzunehmen, dass aufgrund der Voraussetzungen unsres Satzes
bereits an ; b ⋹ c erwiesen sei, und darnach mittelst der Schlüsse:
a ; an ; b ⋹ a ; c ⋹ c
darzuthun, dass alsdann auch an + 1 ; b ⋹ c gelten muss. Daraufhin ist nun
die Folgerung an ; b ⋹ c als eine für jede Zahl n gültige hinzustellen,
indem, wenn sie für eine bestimmte Zahl gilt, sie immer auch für die
nächst höhere gelten muss, und sie für n = 1 ja gilt (folglich auch für
*) Dieser Schluss ist die Wiederholung des bei D 40 gemachten, braucht
aber für jetzt nicht gerade als ein Satz formulirt zu sein.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 363. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/377>, abgerufen am 14.05.2024.
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