§ 23. Die Kettentheorie im leichtern Rückweg durchgegangen.
und nun, indem man rechterhand immerfort den Wert der linken Seite aus der Gleichung selbst einträgt, zu der "unendlichen" (unbegrenzten) Ent- wickelung führt: 0)
[Formel 1]
wodurch es nahe gelegt erscheint, das in Klammer stehende Relativ selbst als a0 zu definiren.
Wir werden diesen Gang noch nicht unwesentlich vereinfachen, indem wir, statt von der Betrachtung des a0 ; b auszugehen, lieber sogleich a0 selbst (nebst a00) einführen.
Der Rückweg.
Handelt es sich lediglich darum, die Formel D 59 als einen all- gemeinen Satz in der Theorie der binären Relative zu beweisen, indem man die Bedeutung ebendesselben als des "Satzes der vollständigen In- duktion" ignorirt, und demgemäss sich nicht scheut, da wo etwa unend- liche Entwickelungen vorkommen, das Bildungsgesetz derselben ver mittelst des "Schlusses der vollständigen Induktion" festzustellen -- mithin ganz so zuwerke zu gehen, wie wir es in den frühern Vor- lesungen, da wo eine Lösung nicht in geschlossener Form zu geben war, immer thaten (und auch künftig, obzwar dann mit fester begrün- detem Rechte, wieder thun werden) -- so führt uns folgender modus procedendi zum Ziele.
Wir lassen aus Dedekind's Kettentheorie die schwerkalibrigen Sätze D 44 und 48 ganz beiseite (auch sie vom gegenwärtigen Aus- gangspunkte aus zu gewinnen, sei in die Studien des nächsten Para- graphen verwiesen) und definiren die "a-Bildkette" a00 und die "a-Kette" a0 oder "Kette eines beliebigen Relativs a" wie links vom Striche folgt: 1)
a00 = a + a ; a + a ; a ; a + ...
a11 = a(a j a)(a j a j a) ...
2)
a0 = 1' + a00
a1 = 0'a11.
Nun ist natürlich: 3)
1' a0
a1 0'
4)
aa00a0
a1a11a
und ferner gilt: 5)
a ; a00 = a00 ; a00 = a00 ; aa00
a11a j a11 = a11 j a11 = a11 j a
6)
a ; a0 = a00 = a0 ; aa0
a1a j a1 = a11 = a1 j a
7)
a0 ; a0 = a0
a1 j a1 = a1
wie durch Einsetzen der als Bedeutung von a00 und a0 hingestellten Reihen und relatives Ausmultipliziren mit Leichtigkeit zu sehen.
§ 23. Die Kettentheorie im leichtern Rückweg durchgegangen.
und nun, indem man rechterhand immerfort den Wert der linken Seite aus der Gleichung selbst einträgt, zu der „unendlichen“ (unbegrenzten) Ent- wickelung führt: 0)
[Formel 1]
wodurch es nahe gelegt erscheint, das in Klammer stehende Relativ selbst als a0 zu definiren.
Wir werden diesen Gang noch nicht unwesentlich vereinfachen, indem wir, statt von der Betrachtung des a0 ; b auszugehen, lieber sogleich a0 selbst (nebst a00) einführen.
Der Rückweg.
Handelt es sich lediglich darum, die Formel D 59 als einen all- gemeinen Satz in der Theorie der binären Relative zu beweisen, indem man die Bedeutung ebendesselben als des „Satzes der vollständigen In- duktion“ ignorirt, und demgemäss sich nicht scheut, da wo etwa unend- liche Entwickelungen vorkommen, das Bildungsgesetz derselben ver mittelst des „Schlusses der vollständigen Induktion“ festzustellen — mithin ganz so zuwerke zu gehen, wie wir es in den frühern Vor- lesungen, da wo eine Lösung nicht in geschlossener Form zu geben war, immer thaten (und auch künftig, obzwar dann mit fester begrün- detem Rechte, wieder thun werden) — so führt uns folgender modus procedendi zum Ziele.
Wir lassen aus Dedekind’s Kettentheorie die schwerkalibrigen Sätze D 44 und 48 ganz beiseite (auch sie vom gegenwärtigen Aus- gangspunkte aus zu gewinnen, sei in die Studien des nächsten Para- graphen verwiesen) und definiren die „a-Bildkette“ a00 und die „a-Kette“ a0 oder „Kette eines beliebigen Relativs a“ wie links vom Striche folgt: 1)
a00 = a + a ; a + a ; a ; a + …
a11 = a(a ɟ a)(a ɟ a ɟ a) …
2)
a0 = 1' + a00
a1 = 0'a11.
Nun ist natürlich: 3)
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und ferner gilt: 5)
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6)
a ; a0 = a00 = a0 ; a ⋹ a0
a1⋹a ɟ a1 = a11 = a1 ɟ a
7)
a0 ; a0 = a0
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wie durch Einsetzen der als Bedeutung von a00 und a0 hingestellten Reihen und relatives Ausmultipliziren mit Leichtigkeit zu sehen.
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[361/0375]
§ 23. Die Kettentheorie im leichtern Rückweg durchgegangen.
und nun, indem man rechterhand immerfort den Wert der linken Seite aus
der Gleichung selbst einträgt, zu der „unendlichen“ (unbegrenzten) Ent-
wickelung führt:
0) [FORMEL]
wodurch es nahe gelegt erscheint, das in Klammer stehende Relativ selbst
als a0 zu definiren.
Wir werden diesen Gang noch nicht unwesentlich vereinfachen, indem
wir, statt von der Betrachtung des a0 ; b auszugehen, lieber sogleich a0
selbst (nebst a00) einführen.
Der Rückweg.
Handelt es sich lediglich darum, die Formel D 59 als einen all-
gemeinen Satz in der Theorie der binären Relative zu beweisen, indem
man die Bedeutung ebendesselben als des „Satzes der vollständigen In-
duktion“ ignorirt, und demgemäss sich nicht scheut, da wo etwa unend-
liche Entwickelungen vorkommen, das Bildungsgesetz derselben ver
mittelst des „Schlusses der vollständigen Induktion“ festzustellen —
mithin ganz so zuwerke zu gehen, wie wir es in den frühern Vor-
lesungen, da wo eine Lösung nicht in geschlossener Form zu geben
war, immer thaten (und auch künftig, obzwar dann mit fester begrün-
detem Rechte, wieder thun werden) — so führt uns folgender modus
procedendi zum Ziele.
Wir lassen aus Dedekind’s Kettentheorie die schwerkalibrigen
Sätze D 44 und 48 ganz beiseite (auch sie vom gegenwärtigen Aus-
gangspunkte aus zu gewinnen, sei in die Studien des nächsten Para-
graphen verwiesen) und definiren die „a-Bildkette“ a00 und die „a-Kette“ a0
oder „Kette eines beliebigen Relativs a“ wie links vom Striche folgt:
1) a00 = a + a ; a + a ; a ; a + … a11 = a(a ɟ a)(a ɟ a ɟ a) …
2) a0 = 1' + a00 a1 = 0'a11.
Nun ist natürlich:
3) 1' ⋹ a0 a1⋹ 0'
4) a⋹a00⋹a0 a1⋹a11⋹a
und ferner gilt:
5) a ; a00 = a00 ; a00 = a00 ; a ⋹ a00 a11⋹a ɟ a11 = a11 ɟ a11 = a11 ɟ a
6) a ; a0 = a00 = a0 ; a ⋹ a0 a1⋹a ɟ a1 = a11 = a1 ɟ a
7) a0 ; a0 = a0 a1 ɟ a1 = a1
wie durch Einsetzen der als Bedeutung von a00 und a0 hingestellten
Reihen und relatives Ausmultipliziren mit Leichtigkeit zu sehen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 361. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/375>, abgerufen am 14.05.2024.
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