Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 22. Die transitiven Relative.

ist erkannt, dass wenigstens für gewisse u (nämlich für u = x) die Un-
bekannte in jenen drei Formen angebbar sein müsse, die man erhält, wenn
man in den primären Gleichungen unsrer letzten Zeile rechterhand x durch
ein unbestimmtes Relativ u ersetzt.

Nun stimmt aber, selbst bei beliebigem u, wie sich herausstellt, mit
ebendiesen Ausdrücken auch die Probe 1 — wonach sie eben die all-
gemeine Wurzel vorstellen werden.

Dies beruht auf einem Satze, oder eigentlich auf drei Sätzen, die
man durch die eine Formel darstellen kann:
33) (ā̆ ɟ a)a(a ɟ ā̆) ; (ā̆ ɟ a)a(a ɟ ā̆) ⋹ (ā̆ ɟ a)a(a ɟ ā̆)
mit dem Zufügen, dass in dem dreimal vorkommenden identischen Produkte
auch der erste oder aber der letzte Faktor durchweg unterdrückbar.

Um zunächst diese Formel zu beweisen, nennen wir L die linke Seite
derselben, und haben zu zeigen, dass sowol
L⋹ā̆ ɟ a als L ⋹ a und L ⋹ a ɟ ā̆
ist. Direkt, aufgrund der Koeffizientenevidenz wäre dies nur umständlich
zu bewerkstelligen. (Empfehlenswerte Übung). Mittelbar gelingt es dagegen
leicht wie folgt.

Nach dem fundamentalen Satze 5) des § 6 können wir, sooft ein rela-
tives Produkt von der Form abc …; αβγ … vorliegt, irgend einen der
identischen Faktoren vor und irgend einen hinter dem Semikolon ausheben,
und werden, sie in dieser Folge zu einem relativen Produkt vereinigend,
ein Relativ erhalten, welchem das gegebne relative Produkt eingeordnet
sein muss. Hienach muss z. B. sein:
L⋹ (a ɟ ā̆) ; a, was nach 9) des § 17 gleich a ist, also: L ⋹ a.
Ebenso muss sein:
L⋹ (ā̆ ɟ a) ; (ā̆ ɟ a) ⋹ ā̆ ɟ a ; ā̆ ɟ a ⋹ ā̆ ɟ 0' ɟ a = ā̆ ɟ a
im Hinblick auf 7) des § 6 und 3) und 11) des § 8, endlich:
L⋹ (a ɟ ā̆) ; (a ɟ ā̆) ⋹ a ɟ ā̆ ; a ɟ ā̆ ⋹ a ɟ 0' ɟ ā̆ = a ɟ ā̆,
wie zu zeigen gewesen.

Vielleicht noch eleganter (oder mnemonischer) mag mit regel-
mässigem Wechsel zwischen u und ū̆ die hiermit gerechtfertigte Lösung
so geschrieben werden:
34) [Formel 1]
mit dem Zusatze: dass auch der erste oder letzte von den drei iden-
tischen Faktoren unterdrückbar.

In Gestalt einer unendlichen Entwickelung lässt sich daneben die
allgemeine Lösung unsrer Subsumtion wie folgt darstellen:

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