Um dies zu entdecken, bemerke man zuerst, dass auch: (x ; xx) = (x = x + x ; x) ist. Auf demselben Grundgedanken, welcher vorhin Erfolg gewährte, fussend kann man hiernach dessen gewiss sein, dass die Unbekannte in der Form x = u + u ; u angebbar sein muss, mit welcher ja die Probe 2 schon stimmt. Wirft man hierauf die Frage auf, ob dieser Ausdruck auch für ein be- liebiges u eine Wurzel darstelle, so bestätigt sich indessen diese Vermutung nicht, indem (u + u2) ; (u + u2) = u ; u + u2 ; u + u ; u2 + u2 ; u2 = = u2 + u3 + u4 nicht u + u2 allgemein sein kann; Probe 1 stimmt mithin nicht.
Wohl aber thut sie dies, wenn wir noch etwas weiter gegangen sein werden.
Setzt man in der mit der Aufgabe äquivalenten Gleichung x = x + x ; x etwa für das letzte x fortgesetzt seinen Wert aus der Gleichung selbst ein, so gelangt man zu der -- unschwer durch Schluss von n auf n + 1 strenge zu rechtfertigenden -- Darstellung: x = x + x2 + x3 + ... + xn, welche auch für ein ohne Ende wachsendes n in Anspruch genommen werden kann und uns liefert: x = x + x ; x + x ; x ; x + ... = x + x2 + x3 + x4 + ... = x00. Zufolge dessen stimmt mit dem Ausdrucke x = u00 = u + u2 + u3 + ... in infinitum jedenfalls auch die Probe 2. Mit ebendiesem stimmt nun aber auch die Probe 1, indem bei ganz beliebigem u nach 4) des § 6: x ; x = (u + u2 + u3 + ...) ; (u + u2 + u3 + ...) = u2 + u3 + u4 + ... somit u + u2 + u3 + u4 + ... = x sein muss, und jedenfalls als allgemeine Formel gilt: 36)
a00 ; a00a00
a11a11 j a11.
Anstatt mit den vorstehenden Überlegungen -- was ich für nützlich hielt -- den früheren Gedankengang im Einzelnen zu illustriren, hätten wir uns auch einfach auf das Th. 1) des § 13 bezüglich sämtlicher Lösungs- formen berufen können.
Nach alledem sind für das
Erste Gespann die Ergebnisse gerechtfertigt:
Achte Vorlesung.
35)
[Formel 1]
.
Um dies zu entdecken, bemerke man zuerst, dass auch: (x ; x ⋹ x) = (x = x + x ; x) ist. Auf demselben Grundgedanken, welcher vorhin Erfolg gewährte, fussend kann man hiernach dessen gewiss sein, dass die Unbekannte in der Form x = u + u ; u angebbar sein muss, mit welcher ja die Probe 2 schon stimmt. Wirft man hierauf die Frage auf, ob dieser Ausdruck auch für ein be- liebiges u eine Wurzel darstelle, so bestätigt sich indessen diese Vermutung nicht, indem (u + u2) ; (u + u2) = u ; u + u2 ; u + u ; u2 + u2 ; u2 = = u2 + u3 + u4 nicht ⋹ u + u2 allgemein sein kann; Probe 1 stimmt mithin nicht.
Wohl aber thut sie dies, wenn wir noch etwas weiter gegangen sein werden.
Setzt man in der mit der Aufgabe äquivalenten Gleichung x = x + x ; x etwa für das letzte x fortgesetzt seinen Wert aus der Gleichung selbst ein, so gelangt man zu der — unschwer durch Schluss von n auf n + 1 strenge zu rechtfertigenden — Darstellung: x = x + x2 + x3 + … + xn, welche auch für ein ohne Ende wachsendes n in Anspruch genommen werden kann und uns liefert: x = x + x ; x + x ; x ; x + … = x + x2 + x3 + x4 + … = x00. Zufolge dessen stimmt mit dem Ausdrucke x = u00 = u + u2 + u3 + … in infinitum jedenfalls auch die Probe 2. Mit ebendiesem stimmt nun aber auch die Probe 1, indem bei ganz beliebigem u nach 4) des § 6: x ; x = (u + u2 + u3 + …) ; (u + u2 + u3 + …) = u2 + u3 + u4 + … somit ⋹u + u2 + u3 + u4 + … = x sein muss, und jedenfalls als allgemeine Formel gilt: 36)
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a11⋹a11 ɟ a11.
Anstatt mit den vorstehenden Überlegungen — was ich für nützlich hielt — den früheren Gedankengang im Einzelnen zu illustriren, hätten wir uns auch einfach auf das Th. 1) des § 13 bezüglich sämtlicher Lösungs- formen berufen können.
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[340/0354]
Achte Vorlesung.
35) [FORMEL].
Um dies zu entdecken, bemerke man zuerst, dass auch:
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kann man hiernach dessen gewiss sein, dass die Unbekannte in der Form
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Wirft man hierauf die Frage auf, ob dieser Ausdruck auch für ein be-
liebiges u eine Wurzel darstelle, so bestätigt sich indessen diese Vermutung
nicht, indem
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= u2 + u3 + u4
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Wohl aber thut sie dies, wenn wir noch etwas weiter gegangen sein
werden.
Setzt man in der mit der Aufgabe äquivalenten Gleichung x = x + x ; x
etwa für das letzte x fortgesetzt seinen Wert aus der Gleichung selbst ein,
so gelangt man zu der — unschwer durch Schluss von n auf n + 1 strenge
zu rechtfertigenden — Darstellung:
x = x + x2 + x3 + … + xn,
welche auch für ein ohne Ende wachsendes n in Anspruch genommen
werden kann und uns liefert:
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Zufolge dessen stimmt mit dem Ausdrucke
x = u00 = u + u2 + u3 + … in infinitum
jedenfalls auch die Probe 2. Mit ebendiesem stimmt nun aber auch die
Probe 1, indem bei ganz beliebigem u nach 4) des § 6:
x ; x = (u + u2 + u3 + …) ; (u + u2 + u3 + …) = u2 + u3 + u4 + …
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sein muss, und jedenfalls als allgemeine Formel gilt:
36) a00 ; a00 ⋹ a00 a11⋹a11 ɟ a11.
Anstatt mit den vorstehenden Überlegungen — was ich für nützlich
hielt — den früheren Gedankengang im Einzelnen zu illustriren, hätten
wir uns auch einfach auf das Th. 1) des § 13 bezüglich sämtlicher Lösungs-
formen berufen können.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 340. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/354>, abgerufen am 13.05.2024.
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