Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 22. Dritte Hauptabteilung. Transitivität.

sowie wegen 24) die bemerkenswerte Darstellung haben:
31) a² = a ; a = 1'a + (1'a ; 1 + 1 ; 1'a)0'a + 0'a ; 0'a,
und nach diesem Schema kann, wenn x = 1'y + 0'z gesetzt wird, die Auf-
gabe geschrieben werden:
ab⋹ 1'y + (1'y ; 1 + 1 ; 1'y)0'z + 0'z ; 0'z ⋹ a + b.

Es gelingt nun wieder, hieraus wenigstens y zu eliminiren. Die Re-
sultante, wenn zur Abkürzung a + b + 1' + z̄ = c genannt wird, lautet:
ab⋹ (c ɟ 0)(0 ɟ c) + {(c ɟ 0) · (0 ɟ c) ; 1 + 1 ; (c ɟ 0) · (0 ɟ c)}0'z + 0'z ; 0'z.

Dritte Hauptabteilung.

Subsumtionenprobleme. Erste Abteilung. Wir beginnen mit der

Aufgabe. Nach x aufzulösen die Subsumtion:
x ; x ⋹ x.

Diese charakterisirt x als ein einer höchst wichtigen Klasse an-
gehöriges, nämlich als ein „transitives“ Relativ — vergl. S. 46.

Wir fassen den Begriff hiermit etwas weiter als De Morgan, in dessen
Sinne ein transitives Relativ vielmehr zu charakterisiren wäre mittelst
(x ; x ⋹ x)(x ; x ≠ 0).

Wegen 0 ⋹ x ist nämlich die obige Subsumtion auch sicher dann er-
füllt, wenn x ; x ⋹ 0 ist, d. h. zu den transitiven Relativen in unserm (wei-
teren) Sinne gehören eo ipso als eine Unterabteilung derselben auch die
oben S. 328 sq. besprochenen „erschöpften“ Relative — und diese letztern will
De Morgan von den transitiven Relativen ausgeschlossen wissen.

Zu den transitiven Relationen gehören die allerwichtigsten der von
uns in Bd. 1 und 2 studirten Beziehungen: der Subsumtion (Einord-
nung), Identität (oder Gleichheit) sowie der Unterordnung; „eingeordnet“
oder „enthalten in“, „gleich mit“, auch „≦“, „<“ und „> als-“ sind
transitive Relative: Gleiches mit Gleichem ist Gleiches. Etc.

Nicht-transitiv (intransitiv) dagegen ist z. B. das Relativ „≠“, „un-
gleich mit-“, „verschieden von-“ oder „ein andres als“; denn „ungleich
etwas Ungleichem“ wird auch das Gleiche sein, „etwas andres wie
etwas andres als-“ kann auch „dasselbe“ (das nämliche) genannt werden
und wird solches also nicht notwendig wieder „etwas andres als (das
gedachte Korrelat)“ bedeuten müssen. Auch der Freund von einem
deiner Freunde braucht nicht dein Freund zu sein, selbst wenn Freund-
schaft immer gegenseitig.

Wie not es thut, dass eine fest begründete Lehre der Relative (rela-
tion-lore) errichtet sei, thun schon die fundamentalen Irrtümer dar, denen
man in so vielen, dies Gebiet streifenden Abhandlungen begegnet. Selbst
in einer so angesehenen philosophischen Zeitschrift wie die Revue philo-

Schröder, Algebra der Relative. 22