zipien sich auch aus unsern 15 Festsetzungen ergeben, womit dann auch deren sämtliche Konsequenzen durch ebensie verbürgt sein werden.
Dies mag ganz kunstlos geschehen in der Form einer blossen Verifikation jener Grundlagen aus dem Abacus, aus unsern Fest- setzungen.
Da für jeden Buchstaben nur die beiden Fälle zu unterscheiden sind, wo er 0 und wo er 1 bedeutet, so werden bei einer Formel, in der blos 1, 2 oder 3 Buchstaben vorkommen, auch nur 2, 22 = 4 resp. 23 = 8 Einsetzungen (von Wertsystemen 0 oder 1 für die Buchstaben) zu vollziehen sein, um dieselbe für alle erdenklichen Fälle zu bewahrheiten.
Beispielsweise können so das "Prinzip II" des Bd. 1: (ab)(bc) (ac), die Definitionen (3) daselbst: (ca)(cb) = (cab), etc., das Assoziationsgesetz, und das volle Distributionsgesetz a(b + c) = ab + ac mit Leichtigkeit als kraft unsrer 15 Festsetzungen gültige nachgewiesen werden.
Mehr wie drei Buchstaben kamen in den zur formalen Grundlage des Aussagenkalkuls seinerzeit genommenen "Definitionen" und "Prinzipien" überhaupt nicht vor.
In gleicher Weise könnte man sich aber natürlich auch jedes kom- plizirtere Theorem, jeden Folgesatz des Aussagenkalkuls, den wir aus jenen formalen Grundlagen in der Theorie desselben deduzirten, unmittelbar verifizirt denken und aufgrund unsrer 15 Festsetzungen ihn nötigenfalls verifiziren.
Wir dürfen hienach nun mit einem Schlage die volle Vertrautheit mit dem gesamten Formalismus des Aussagenkalkuls (implicite damit zugleich also auch des identischen Kalkuls) beim Leser voraussetzen.
Und es erscheint mit dem Vorstehenden die wichtige Thatsache gesichert: dass es uns jederzeit freistehen wird, die 1 als eine "wahre", die 0 als eine "falsche" Aussage zu interpretiren -- wo dann alle wahren Aussagen als einander gleich ("äquivalent") zu gelten haben werden, und ebenso alle falschen Aussagen -- wofern wir zugleich die Subsumtion zwischen Aussagen, sowie die Aussagennegation, das Aussagenprodukt und die Aussagensumme, in der üblichen Weise deuten.
Mit dieser Bemerkung ist den Verwendungen, die wir mit den- selben Wertsymbolen 0 und 1 im Wertbereich der Relative noch be- absichtigen, in keiner Weise vorgegriffen.
Der Studirende aber bleibe sich bewusst und halte fortgesetzt sein Augenmerk darauf gerichtet, dass wenn nunmehr aus den ferner hinzutretenden Festsetzungen werden Schlüsse, Folgerungen gezogen werden, dieses Folgern stets nach den Gesetzen ebenjenes Aussagen- kalkuls vor sich geht, dessen Grundlage die bisherigen Festsetzungen
§ 3. Zu den fundamentalen Festsetzungen.
zipien sich auch aus unsern 15 Festsetzungen ergeben, womit dann auch deren sämtliche Konsequenzen durch ebensie verbürgt sein werden.
Dies mag ganz kunstlos geschehen in der Form einer blossen Verifikation jener Grundlagen aus dem Abacus, aus unsern Fest- setzungen.
Da für jeden Buchstaben nur die beiden Fälle zu unterscheiden sind, wo er 0 und wo er 1 bedeutet, so werden bei einer Formel, in der blos 1, 2 oder 3 Buchstaben vorkommen, auch nur 2, 22 = 4 resp. 23 = 8 Einsetzungen (von Wertsystemen 0 oder 1 für die Buchstaben) zu vollziehen sein, um dieselbe für alle erdenklichen Fälle zu bewahrheiten.
Beispielsweise können so das „Prinzip II“ des Bd. 1: (a ⋹ b)(b ⋹ c) ⋹ (a ⋹ c), die Definitionen (3) daselbst: (c ⋹ a)(c ⋹ b) = (c ⋹ ab), etc., das Assoziationsgesetz, und das volle Distributionsgesetz a(b + c) = ab + ac mit Leichtigkeit als kraft unsrer 15 Festsetzungen gültige nachgewiesen werden.
Mehr wie drei Buchstaben kamen in den zur formalen Grundlage des Aussagenkalkuls seinerzeit genommenen „Definitionen“ und „Prinzipien“ überhaupt nicht vor.
In gleicher Weise könnte man sich aber natürlich auch jedes kom- plizirtere Theorem, jeden Folgesatz des Aussagenkalkuls, den wir aus jenen formalen Grundlagen in der Theorie desselben deduzirten, unmittelbar verifizirt denken und aufgrund unsrer 15 Festsetzungen ihn nötigenfalls verifiziren.
Wir dürfen hienach nun mit einem Schlage die volle Vertrautheit mit dem gesamten Formalismus des Aussagenkalkuls (implicite damit zugleich also auch des identischen Kalkuls) beim Leser voraussetzen.
Und es erscheint mit dem Vorstehenden die wichtige Thatsache gesichert: dass es uns jederzeit freistehen wird, die 1 als eine „wahre“, die 0 als eine „falsche“ Aussage zu interpretiren — wo dann alle wahren Aussagen als einander gleich („äquivalent“) zu gelten haben werden, und ebenso alle falschen Aussagen — wofern wir zugleich die Subsumtion zwischen Aussagen, sowie die Aussagennegation, das Aussagenprodukt und die Aussagensumme, in der üblichen Weise deuten.
Mit dieser Bemerkung ist den Verwendungen, die wir mit den- selben Wertsymbolen 0 und 1 im Wertbereich der Relative noch be- absichtigen, in keiner Weise vorgegriffen.
Der Studirende aber bleibe sich bewusst und halte fortgesetzt sein Augenmerk darauf gerichtet, dass wenn nunmehr aus den ferner hinzutretenden Festsetzungen werden Schlüsse, Folgerungen gezogen werden, dieses Folgern stets nach den Gesetzen ebenjenes Aussagen- kalkuls vor sich geht, dessen Grundlage die bisherigen Festsetzungen
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§ 3. Zu den fundamentalen Festsetzungen.
zipien sich auch aus unsern 15 Festsetzungen ergeben, womit dann
auch deren sämtliche Konsequenzen durch ebensie verbürgt sein werden.
Dies mag ganz kunstlos geschehen in der Form einer blossen
Verifikation jener Grundlagen aus dem Abacus, aus unsern Fest-
setzungen.
Da für jeden Buchstaben nur die beiden Fälle zu unterscheiden
sind, wo er 0 und wo er 1 bedeutet, so werden bei einer Formel, in
der blos 1, 2 oder 3 Buchstaben vorkommen, auch nur 2, 22 = 4 resp.
23 = 8 Einsetzungen (von Wertsystemen 0 oder 1 für die Buchstaben)
zu vollziehen sein, um dieselbe für alle erdenklichen Fälle zu bewahrheiten.
Beispielsweise können so das „Prinzip II“ des Bd. 1: (a ⋹ b)(b ⋹ c)
⋹ (a ⋹ c), die Definitionen (3) daselbst: (c ⋹ a)(c ⋹ b) = (c ⋹ ab), etc.,
das Assoziationsgesetz, und das volle Distributionsgesetz a(b + c) = ab + ac
mit Leichtigkeit als kraft unsrer 15 Festsetzungen gültige nachgewiesen
werden.
Mehr wie drei Buchstaben kamen in den zur formalen Grundlage des
Aussagenkalkuls seinerzeit genommenen „Definitionen“ und „Prinzipien“
überhaupt nicht vor.
In gleicher Weise könnte man sich aber natürlich auch jedes kom-
plizirtere Theorem, jeden Folgesatz des Aussagenkalkuls, den wir aus jenen
formalen Grundlagen in der Theorie desselben deduzirten, unmittelbar
verifizirt denken und aufgrund unsrer 15 Festsetzungen ihn nötigenfalls
verifiziren.
Wir dürfen hienach nun mit einem Schlage die volle Vertrautheit
mit dem gesamten Formalismus des Aussagenkalkuls (implicite damit
zugleich also auch des identischen Kalkuls) beim Leser voraussetzen.
Und es erscheint mit dem Vorstehenden die wichtige Thatsache
gesichert: dass es uns jederzeit freistehen wird, die 1 als eine „wahre“,
die 0 als eine „falsche“ Aussage zu interpretiren — wo dann alle
wahren Aussagen als einander gleich („äquivalent“) zu gelten haben
werden, und ebenso alle falschen Aussagen — wofern wir zugleich
die Subsumtion zwischen Aussagen, sowie die Aussagennegation, das
Aussagenprodukt und die Aussagensumme, in der üblichen Weise
deuten.
Mit dieser Bemerkung ist den Verwendungen, die wir mit den-
selben Wertsymbolen 0 und 1 im Wertbereich der Relative noch be-
absichtigen, in keiner Weise vorgegriffen.
Der Studirende aber bleibe sich bewusst und halte fortgesetzt
sein Augenmerk darauf gerichtet, dass wenn nunmehr aus den ferner
hinzutretenden Festsetzungen werden Schlüsse, Folgerungen gezogen
werden, dieses Folgern stets nach den Gesetzen ebenjenes Aussagen-
kalkuls vor sich geht, dessen Grundlage die bisherigen Festsetzungen
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 21. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/35>, abgerufen am 22.11.2024.
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