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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Achte Vorlesung.

Allgemein gilt nun schon a abn ; 1 + b, nämlich abn abn ; 1 nach 8)
des § 15, umsomehr also a x ; x, q. e. d. Analog (konjugirt dazu) ist die
Probe für die zweite Lösungsform zu leisten; und für die dritte
x = abn ; 1 + u + 1 ; abn
ist sie mit vorstehendem ebenfalls geleistet, weil x ; x für sie gebildet die-
selben Glieder wie vorhin und nur noch einige mehr enthalten muss.

Probe 1 zu 43). Wird u ; u = b genannt, und a + a = a, so ist b = b
und a = a. Mit x = abn ; 1 + u wird also x = u + 1 ; abn und
x ; x = abn ; 1 ; abn + u ; u + u ; 1 ; abn + abn ; 1 ; u = abn ; 1 · 1 ; abn + b + etc.
Nun gilt allgemein abn abn ; 1 · 1 ; abn, somit a abn ; 1 · 1 ; abn + b, d. h. es
ist a + a schon der Summe der beiden ersten Glieder des x ; x eingeordnet,
q. e. d.

Die Probleme der beiden übrigen Gespanne involviren Resultanten,
und zwar sind die vollen Resultanten zum

Vierten Gespanne gegeben mit:
21) [Formel 1]

Während dieselben kraft 3) des § 8 folgen, ist der Beweis für ihre
Vollständigkeit darin zu erblicken, dass, sobald die Resultante erfüllt ist,
sich x = 0' sowol als x = 1' als eine partikulare Wurzel bewährt. Mit
deren Hülfe sind wir demnach auch imstande, wenigstens die rigorose
Lösung für jedes der vorstehenden Probleme nach 12) des § 12 hinzu-
schreiben, z. B.
[Formel 2] ,
worin auch hinter S sich 1' für 0' setzen lässt.

Zweites Gespann:
22) [Formel 3]
Hier folgt je eine unbekannte Resultante und steht auch die Lösung
in jeglicher Form noch aus.

Die Aufgabe, aus a x ; xn das x zu eliminiren, gehört zu den ein-
fachsten unter den schwierigen und zu den schwierigsten unter den ein-
fachen Eliminationsproblemen.

Dass eine Resultante folgt, m. a. W. dass unser Problem nicht be-
dingungslos (für a) durch ein x erfüllbar ist, zeigt sich schon auf den
niedersten Denkbereichen. Bildet man für jedes der 16 Relative, welche
in 1 1/2 existiren und somit daselbst als Wert von x aufgefasst werden
könnten, das relative Produkt x ; xn, so erhält man nur 8 verschiedene Er-

Achte Vorlesung.

Allgemein gilt nun schon a ⋹ ab̄ ; 1 + b, nämlich ab̄ ⋹ ab̄ ; 1 nach 8)
des § 15, umsomehr also a ⋹ x ; x, q. e. d. Analog (konjugirt dazu) ist die
Probe für die zweite Lösungsform zu leisten; und für die dritte
x = ab̄ ; 1 + u + 1 ; ab̄
ist sie mit vorstehendem ebenfalls geleistet, weil x ; x für sie gebildet die-
selben Glieder wie vorhin und nur noch einige mehr enthalten muss.

Probe 1 zu 43). Wird u ; ŭ = b genannt, und a + ă = α, so ist b = b̆
und α = ᾰ. Mit x = αb̄ ; 1 + u wird also x̆ = ŭ + 1 ; αb̄ und
x ; x̆ = αb̄ ; 1 ; αb̄ + u ; ŭ + u ; 1 ; αb̄ + αb̄ ; 1 ; ŭ = αb̄ ; 1 · 1 ; αb̄ + b + etc.
Nun gilt allgemein αb̄ ⋹ αb̄ ; 1 · 1 ; αb̄, somit α ⋹ αb̄̆ ; 1 · 1 ; αb̄ + b, d. h. es
ist a + ă schon der Summe der beiden ersten Glieder des x ; x̆ eingeordnet,
q. e. d.

Die Probleme der beiden übrigen Gespanne involviren Resultanten,
und zwar sind die vollen Resultanten zum

Vierten Gespanne gegeben mit:
21) [Formel 1]

Während dieselben kraft 3) des § 8 folgen, ist der Beweis für ihre
Vollständigkeit darin zu erblicken, dass, sobald die Resultante erfüllt ist,
sich x = 0' sowol als x = 1' als eine partikulare Wurzel bewährt. Mit
deren Hülfe sind wir demnach auch imstande, wenigstens die rigorose
Lösung für jedes der vorstehenden Probleme nach 12) des § 12 hinzu-
schreiben, z. B.
[Formel 2] ,
worin auch hinter Σ sich 1' für 0' setzen lässt.

Zweites Gespann:
22) [Formel 3]
Hier folgt je eine unbekannte Resultante und steht auch die Lösung
in jeglicher Form noch aus.

Die Aufgabe, aus a ⋹ x ; x̄ das x zu eliminiren, gehört zu den ein-
fachsten unter den schwierigen und zu den schwierigsten unter den ein-
fachen Eliminationsproblemen.

Dass eine Resultante folgt, m. a. W. dass unser Problem nicht be-
dingungslos (für a) durch ein x erfüllbar ist, zeigt sich schon auf den
niedersten Denkbereichen. Bildet man für jedes der 16 Relative, welche
in 1 ½ existiren und somit daselbst als Wert von x aufgefasst werden
könnten, das relative Produkt x ; x̄, so erhält man nur 8 verschiedene Er-

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[334/0348] Achte Vorlesung. Allgemein gilt nun schon a ⋹ ab̄ ; 1 + b, nämlich ab̄ ⋹ ab̄ ; 1 nach 8) des § 15, umsomehr also a ⋹ x ; x, q. e. d. Analog (konjugirt dazu) ist die Probe für die zweite Lösungsform zu leisten; und für die dritte x = ab̄ ; 1 + u + 1 ; ab̄ ist sie mit vorstehendem ebenfalls geleistet, weil x ; x für sie gebildet die- selben Glieder wie vorhin und nur noch einige mehr enthalten muss. Probe 1 zu 43). Wird u ; ŭ = b genannt, und a + ă = α, so ist b = b̆ und α = ᾰ. Mit x = αb̄ ; 1 + u wird also x̆ = ŭ + 1 ; αb̄ und x ; x̆ = αb̄ ; 1 ; αb̄ + u ; ŭ + u ; 1 ; αb̄ + αb̄ ; 1 ; ŭ = αb̄ ; 1 · 1 ; αb̄ + b + etc. Nun gilt allgemein αb̄ ⋹ αb̄ ; 1 · 1 ; αb̄, somit α ⋹ αb̄̆ ; 1 · 1 ; αb̄ + b, d. h. es ist a + ă schon der Summe der beiden ersten Glieder des x ; x̆ eingeordnet, q. e. d. Die Probleme der beiden übrigen Gespanne involviren Resultanten, und zwar sind die vollen Resultanten zum Vierten Gespanne gegeben mit: 21) [FORMEL] Während dieselben kraft 3) des § 8 folgen, ist der Beweis für ihre Vollständigkeit darin zu erblicken, dass, sobald die Resultante erfüllt ist, sich x = 0' sowol als x = 1' als eine partikulare Wurzel bewährt. Mit deren Hülfe sind wir demnach auch imstande, wenigstens die rigorose Lösung für jedes der vorstehenden Probleme nach 12) des § 12 hinzu- schreiben, z. B. [FORMEL], worin auch hinter Σ sich 1' für 0' setzen lässt. Zweites Gespann: 22) [FORMEL] Hier folgt je eine unbekannte Resultante und steht auch die Lösung in jeglicher Form noch aus. Die Aufgabe, aus a ⋹ x ; x̄ das x zu eliminiren, gehört zu den ein- fachsten unter den schwierigen und zu den schwierigsten unter den ein- fachen Eliminationsproblemen. Dass eine Resultante folgt, m. a. W. dass unser Problem nicht be- dingungslos (für a) durch ein x erfüllbar ist, zeigt sich schon auf den niedersten Denkbereichen. Bildet man für jedes der 16 Relative, welche in 1 ½ existiren und somit daselbst als Wert von x aufgefasst werden könnten, das relative Produkt x ; x̄, so erhält man nur 8 verschiedene Er-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 334. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/348>, abgerufen am 13.05.2024.