Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 22. Erschöpfbare und erschöpfte Relative.

aber nicht öfter als eine bestimmte Anzahl mal. Ein erschöpfbares
Relativ wäre z. B. „Vorgesetzter (praepositus) von-“, „Sklave von-“
(manche Negersklaven halten sich selbst noch Sklaven), „Untergebener
von-“. Man muss ja schliesslich zu einem obersten Vorgesetzten, der
einen solchen seinerseits nicht mehr hat, gelangen. Etc. Ein uner-
schöpfliches Relativ wäre „Ehegespons von-“ (consort) schon bei mono-
gamischen Institutionen.

Wie durch Konversion zu sehen, muss das Konverse eines er-
schöpfbaren resp. erschöpften Relativs auch wieder ein solches sein.

Mit Obigem ist nun gefunden, dass das allgemeinste erschöpfte Relativ
in den drei Formen angebbar ist:
13) [Formel 1] .

Es wäre dem Studirenden anzuraten, dass er für einen eng begrenzten
Denkbereich mittelst „Ausrechnung“, Evaluation des x für verschiedene
aufs Geratewol angenommene Werte von u sich überzeuge, wie eine jede
von diesen Formeln sofort zur Kenntniss einer Menge von Relativen führt,
deren Quadrat verschwindet. Damit nicht durchweg die schon bekannte
Wurzel x = 0 herauskomme, braucht u blos Leerreihen zu haben (ohne
doch selbst zu verschwinden).

Ebenso wie bei n = 2 lässt sich aber auch für jedes andre bestimmte n
die allgemeine Wurzel der Gleichung xⁿ = 0 mit dem ersten Anlauf in
verschiednen Formen aufstellen. Und ein Gleiches gilt schon für die noch
allgemeinere Subsumtion:
xⁿ⋹a.
Es wird genügen, dies noch für n = 3 darzulegen.

Je nachdem wir in x ; x ; x ⋹ a den ersten, zweiten oder dritten rela-
tiven Faktor mittelst Transponirens der übrigen Faktoren gemäss dem
ersten Inversionstheoreme isoliren, erhalten wir:
(x³ ⋹ a) = (x ⋹ a ɟ x̄̆ ɟ x̄̆) = (x ⋹ x̄̆ ɟ a ɟ x̄̆) = (x ⋹ x̄̆ ɟ x̄̆ ɟ a) =
= {x = x(x̄̆ ɟ x̄̆ ɟ a)(x̄̆ ɟ a ɟ x̄̆)(a ɟ x̄̆ ɟ x̄̆)}
— wo im letzten Ausdrucke von den drei letzten Faktoren auch irgend
einer oder zweie unterdrückbar.

Demnach ist die allgemeine Lösung gegeben durch:
14) [Formel 2]
— mit dem gleichen Zusatze.

Denn nach dem Vorhergehenden stimmt hiermit augenscheinlich die
Probe 2. Dass aber auch die Probe 1 stimmt, erkennt man so.

Wird unter x der ihm gleichgesetzte Ausdruck verstanden, der aus
vier resp. mindestens zwei Faktoren besteht, unter denen sich aber der
Faktor u befindet, so ist nach 5) des § 6: x ; x ; x ⋹ α ; β ; γ, wenn α