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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 21. Allgemeines Problem von universaler Natur.

Bevor wir den Gang dieser Rechnungen näber darlegen sei erinnert,
dass bei denselben die Resultante nicht ausser Acht gelassen werden darf.
Der nachrechnende Leser findet sonst zuweilen Koeffizienten, die mit den
von mir angegebenen, einfacheren, zuerst nicht übereinzustimmen scheinen.
Zudem wird häufig von dem Satze a + b = a + anb [Th. 33+) Zusatz,
in Bd. 1, S. 308] vor- oder rückwärts Gebrauch zu machen sein, wonach
z. B. anbn + (a + b)b sich sofort zu anbn + b vereinfacht.

Wegen abbd = 0 wird aber auch beispielsweise sein:
[Formel 1] und dergleichen mehr -- wie nach geeigneter eventuell mehrmaliger An-
wendung genannten Satzes, erforderlichenfalles durch Addiren von (0 =)abbd,
leicht zu sehen ist.

Zuerst bewirken wir, dass die beiden mittleren Glieder unsres
Polynoms 35) in x, das ist die beiden unsrer letzten Zeile bei 42) in y,
verschwinden, was sie a tempo thun werden, da eines blos das Kon-
verse vom andern ist.

Zu dem Ende ist blos nach dem -- etwa ersten -- Schema 10) auf-
zulösen die Subsumtion
anbdnyy.
Wir finden:
y = z + anbdnz, yn = zn(a + bn + d + zn),
oder besser entwickelt:

y = zz + zzn + anbdnznz + 0znzn	yy = zz + anbdnzzn + anbdnznz + 0znzn
yn = 0zz + 0zzn + (a + bn + d)znz + znzn	yyn = 0zz + (a + bn + d)zzn + 0znz + 0znzn
y = zz + anbdnzzn + znz + 0znzn	yny = 0zz + 0zzn + (a + bn + d)znz + 0znzn
yn = 0zz + (a + bn + d)zzn + 0znz + znzn	ynyn = 0zz + 0zzn + 0znz + znzn.

Und es bleibt zu erfüllen:
43) 0 = abnbndnzz + abnbnd(zz + znzn) + anbnbndznzn,
wonach dann sein wird:
x = (an + bn)zz + (an + bn)zzn + (an + d)bznz + bdznzn,
xn = abzz + abzzn + (adn + bn)znz + (bn + dn)znzn,
x = (an + bn)zz + (an + d)bzzn + (an + bn)znz + bdznzn,
xn = abzz + (adn + bn)zzn + abznz + (bn + dn)znzn.

§ 21. Allgemeines Problem von universaler Natur.

Bevor wir den Gang dieser Rechnungen näber darlegen sei erinnert,
dass bei denselben die Resultante nicht ausser Acht gelassen werden darf.
Der nachrechnende Leser findet sonst zuweilen Koeffizienten, die mit den
von mir angegebenen, einfacheren, zuerst nicht übereinzustimmen scheinen.
Zudem wird häufig von dem Satze a + b = a + āb [Th. 33+) Zusatz,
in Bd. 1, S. 308] vor- oder rückwärts Gebrauch zu machen sein, wonach
z. B. ᾱβ̄̆ + (α + β̆)β sich sofort zu ᾱβ̄̆ + β vereinfacht.

Wegen αββ̆δ = 0 wird aber auch beispielsweise sein:
[Formel 1] und dergleichen mehr — wie nach geeigneter eventuell mehrmaliger An-
wendung genannten Satzes, erforderlichenfalles durch Addiren von (0 =)αββ̆δ,
leicht zu sehen ist.

Zu dem Ende ist blos nach dem — etwa ersten — Schema 10) auf-
zulösen die Subsumtion
ᾱβ̆δ̄y̆⋹y.
Wir finden:
y = z + ᾱβ̆δ̄z̆, ȳ = z̄(α + β̄̆ + δ + z̄̆),
oder besser entwickelt:

y = zz̆ + zz̄̆ + ᾱβ̆δ̄z̄z̆ + 0z̄z̄̆	yy̆ = zz̆ + ᾱβδ̄zz̄̆ + ᾱβ̆δ̄z̄z̆ + 0z̄z̄̆
ȳ = 0zz̆ + 0zz̄̆ + (α + β̄̆ + δ)z̄z̆ + z̄z̄̆	yȳ̆ = 0zz̆ + (α + β̄ + δ)zz̄̆ + 0z̄z̆ + 0z̄z̄̆
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ȳ̆ = 0zz̆ + (α + β̄ + δ)zz̄̆ + 0z̄z̆ + z̄z̄̆	ȳȳ̆ = 0zz̆ + 0zz̄̆ + 0z̄z̆ + z̄z̄̆.

Und es bleibt zu erfüllen:
43) 0 = αβ̄β̄̆δ̄zz̆ + αβ̄β̄̆δ(zz̆ + z̄z̄̆) + ᾱβ̄β̄̆δz̄z̄̆,
wonach dann sein wird:
x = (ᾱ + β̄)zz̆ + (ᾱ + β̄)zz̄̆ + (ᾱ + δ)β̆z̄z̆ + β̆δz̄z̄̆,
x̄ = αβzz̆ + αβzz̄̆ + (αδ̄ + β̄̆)z̄z̆ + (β̄̆ + δ̄)z̄z̄̆,
x̆ = (ᾱ + β̄̆)zz̆ + (ᾱ + δ)βzz̄̆ + (ᾱ + β̄̆)z̄z̆ + βδz̄z̄̆,
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[313/0327] § 21. Allgemeines Problem von universaler Natur. Bevor wir den Gang dieser Rechnungen näber darlegen sei erinnert, dass bei denselben die Resultante nicht ausser Acht gelassen werden darf. Der nachrechnende Leser findet sonst zuweilen Koeffizienten, die mit den von mir angegebenen, einfacheren, zuerst nicht übereinzustimmen scheinen. Zudem wird häufig von dem Satze a + b = a + āb [Th. 33+) Zusatz, in Bd. 1, S. 308] vor- oder rückwärts Gebrauch zu machen sein, wonach z. B. ᾱβ̄̆ + (α + β̆)β sich sofort zu ᾱβ̄̆ + β vereinfacht. Wegen αββ̆δ = 0 wird aber auch beispielsweise sein: [FORMEL] und dergleichen mehr — wie nach geeigneter eventuell mehrmaliger An- wendung genannten Satzes, erforderlichenfalles durch Addiren von (0 =)αββ̆δ, leicht zu sehen ist. Zuerst bewirken wir, dass die beiden mittleren Glieder unsres Polynoms 35) in x, das ist die beiden unsrer letzten Zeile bei 42) in y, verschwinden, was sie a tempo thun werden, da eines blos das Kon- verse vom andern ist. Zu dem Ende ist blos nach dem — etwa ersten — Schema 10) auf- zulösen die Subsumtion ᾱβ̆δ̄y̆⋹y. Wir finden: y = z + ᾱβ̆δ̄z̆, ȳ = z̄(α + β̄̆ + δ + z̄̆), oder besser entwickelt: y = zz̆ + zz̄̆ + ᾱβ̆δ̄z̄z̆ + 0z̄z̄̆ yy̆ = zz̆ + ᾱβδ̄zz̄̆ + ᾱβ̆δ̄z̄z̆ + 0z̄z̄̆ ȳ = 0zz̆ + 0zz̄̆ + (α + β̄̆ + δ)z̄z̆ + z̄z̄̆ yȳ̆ = 0zz̆ + (α + β̄ + δ)zz̄̆ + 0z̄z̆ + 0z̄z̄̆ y̆ = zz̆ + ᾱβδ̄zz̄̆ + z̄z̆ + 0z̄z̄̆ ȳy̆ = 0zz̆ + 0zz̄̆ + (α + β̄̆ + δ)z̄z̆ + 0z̄z̄̆ ȳ̆ = 0zz̆ + (α + β̄ + δ)zz̄̆ + 0z̄z̆ + z̄z̄̆ ȳȳ̆ = 0zz̆ + 0zz̄̆ + 0z̄z̆ + z̄z̄̆. Und es bleibt zu erfüllen: 43) 0 = αβ̄β̄̆δ̄zz̆ + αβ̄β̄̆δ(zz̆ + z̄z̄̆) + ᾱβ̄β̄̆δz̄z̄̆, wonach dann sein wird: x = (ᾱ + β̄)zz̆ + (ᾱ + β̄)zz̄̆ + (ᾱ + δ)β̆z̄z̆ + β̆δz̄z̄̆, x̄ = αβzz̆ + αβzz̄̆ + (αδ̄ + β̄̆)z̄z̆ + (β̄̆ + δ̄)z̄z̄̆, x̆ = (ᾱ + β̄̆)zz̆ + (ᾱ + δ)βzz̄̆ + (ᾱ + β̄̆)z̄z̆ + βδz̄z̄̆, x̄̆ = αβ̆zz̆ + (αδ̄ + β̄)zz̄̆ + αβ̆z̄z̆ + (β̄ + δ̄)z̄z̄̆.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 313. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/327>, abgerufen am 13.05.2024.

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