entbehrlich gemacht werden. Auf unserm Wege nämlich erledigt sich die Frage von selbst, indem es uns, die bisherige Resultante als erfüllt voraus- setzend, eben gelingen wird, eine allgemeine Lösung (Wurzel) der Aufgabe zu gewinnen, mit welcher alsdann unbedingt die beiden Proben stimmen.
Wie der Forderung unsrer Resultante durch symmetrisch allgemeine Auflösung derselben nach den Koeffizienten a, b, c, d zu genügen sei, dies zu eruiren wollen wir uns für den Schluss der Untersuchung aufsparen und zunächst einfach diese Resultante als erfüllt annehmen.
Nach x resp. x geordnet ist nun unsre Gleichung 35): (ax + bxn)x + (bx + dxn)xn = 0 = (ax + bxn)x + (bx + dxn)xn und liefert durch Elimination der evident gemachten ("prominenten") Un- bekannten ohne Rücksicht auf die Abhängigkeit zwischen beiden: abx + bdxn = 0 resp. abx + bdxn = 0 -- zwei Gleichungen, deren eine schon durch Konversion mit der andern zugleich gewährleistet erscheint, sodass wir nur die eine, z. B. erste, von ihnen zu erfüllen haben. Dies geschieht -- da laut Voraussetzung die zugehörige Resultante bereits erfüllt ist -- auf die allgemeinste Weise durch den Ansatz: 40)
[Formel 1]
worin die mit einer augenscheinlich überflüssigen Klammer umgebenen ein- fachen Symbole hierdurch gekennzeichnet sein sollen als solche Terme (Faktoren), welche auch unterdrückt werden dürften.
Hiermit geht unsre Gleichung 35) für x gliedweise entsprechend über in diese für y: 41) abnbnyy + anbdnyyn + anbdnyny + bnbndynyn = 0.
[Um bequem zu rechnen, multiplizire man ax mit ax, bx mit bxn, etc.; auch unterlasse man nicht, die Resultante zu berücksichtigen, kraft welcher sich z. B. axx = abnbnyy + abbdynyn zum ersten Gliede reduzirt, u. s. w.]
Die beiden mittleren Koeffizienten in dieser Gleichung schliessen bereits die Randkoeffizienten aus. Auch letztere zerfällen wir, sie nach den a, d vollends entwickelnd, in disjunkte Teile, und erhalten: 42)
[Formel 2]
Indem wir nun die Unbekannte x successive in den unbestimmten Parametern: y (was bereits geschehn), z, w, v, u ausdrücken, bringen wir eines von den Gliedern oder Gliederpaaren unsres Gleichungs- polynoms nach dem andern zum Verschwinden.
Achte Vorlesung.
entbehrlich gemacht werden. Auf unserm Wege nämlich erledigt sich die Frage von selbst, indem es uns, die bisherige Resultante als erfüllt voraus- setzend, eben gelingen wird, eine allgemeine Lösung (Wurzel) der Aufgabe zu gewinnen, mit welcher alsdann unbedingt die beiden Proben stimmen.
Wie der Forderung unsrer Resultante durch symmetrisch allgemeine Auflösung derselben nach den Koeffizienten a, b, c, d zu genügen sei, dies zu eruiren wollen wir uns für den Schluss der Untersuchung aufsparen und zunächst einfach diese Resultante als erfüllt annehmen.
Nach x̆ resp. x geordnet ist nun unsre Gleichung 35): (αx + β̆x̄)x̆ + (βx + δx̄)x̄̆ = 0 = (αx̆ + βx̄̆)x + (β̆x̆ + δx̄̆)x̄ und liefert durch Elimination der evident gemachten („prominenten“) Un- bekannten ohne Rücksicht auf die Abhängigkeit zwischen beiden: αβx + β̆δx̄ = 0 resp. αβ̆x̆ + βδx̄̆ = 0 — zwei Gleichungen, deren eine schon durch Konversion mit der andern zugleich gewährleistet erscheint, sodass wir nur die eine, z. B. erste, von ihnen zu erfüllen haben. Dies geschieht — da laut Voraussetzung die zugehörige Resultante bereits erfüllt ist — auf die allgemeinste Weise durch den Ansatz: 40)
[Formel 1]
worin die mit einer augenscheinlich überflüssigen Klammer umgebenen ein- fachen Symbole hierdurch gekennzeichnet sein sollen als solche Terme (Faktoren), welche auch unterdrückt werden dürften.
Hiermit geht unsre Gleichung 35) für x gliedweise entsprechend über in diese für y: 41) αβ̄β̄̆yy̆ + ᾱβδ̄yȳ̆ + ᾱβ̆δ̄ȳy̆ + β̄β̄̆δȳȳ̆ = 0.
[Um bequem zu rechnen, multiplizire man αx mit αx̆, βx mit βx̄̆, etc.; auch unterlasse man nicht, die Resultante zu berücksichtigen, kraft welcher sich z. B. αxx̆ = αβ̄β̄̆yy̆ + αββ̆δȳȳ̆ zum ersten Gliede reduzirt, u. s. w.]
Die beiden mittleren Koeffizienten in dieser Gleichung schliessen bereits die Randkoeffizienten aus. Auch letztere zerfällen wir, sie nach den α, δ vollends entwickelnd, in disjunkte Teile, und erhalten: 42)
[Formel 2]
Indem wir nun die Unbekannte x successive in den unbestimmten Parametern: y (was bereits geschehn), z, w, v, u ausdrücken, bringen wir eines von den Gliedern oder Gliederpaaren unsres Gleichungs- polynoms nach dem andern zum Verschwinden.
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Achte Vorlesung.
entbehrlich gemacht werden. Auf unserm Wege nämlich erledigt sich die
Frage von selbst, indem es uns, die bisherige Resultante als erfüllt voraus-
setzend, eben gelingen wird, eine allgemeine Lösung (Wurzel) der Aufgabe
zu gewinnen, mit welcher alsdann unbedingt die beiden Proben stimmen.
Wie der Forderung unsrer Resultante durch symmetrisch allgemeine
Auflösung derselben nach den Koeffizienten a, b, c, d zu genügen sei, dies
zu eruiren wollen wir uns für den Schluss der Untersuchung aufsparen
und zunächst einfach diese Resultante als erfüllt annehmen.
Nach x̆ resp. x geordnet ist nun unsre Gleichung 35):
(αx + β̆x̄)x̆ + (βx + δx̄)x̄̆ = 0 = (αx̆ + βx̄̆)x + (β̆x̆ + δx̄̆)x̄
und liefert durch Elimination der evident gemachten („prominenten“) Un-
bekannten ohne Rücksicht auf die Abhängigkeit zwischen beiden:
αβx + β̆δx̄ = 0 resp. αβ̆x̆ + βδx̄̆ = 0
— zwei Gleichungen, deren eine schon durch Konversion mit der andern
zugleich gewährleistet erscheint, sodass wir nur die eine, z. B. erste, von
ihnen zu erfüllen haben. Dies geschieht — da laut Voraussetzung die
zugehörige Resultante bereits erfüllt ist — auf die allgemeinste Weise
durch den Ansatz:
40) [FORMEL]
worin die mit einer augenscheinlich überflüssigen Klammer umgebenen ein-
fachen Symbole hierdurch gekennzeichnet sein sollen als solche Terme
(Faktoren), welche auch unterdrückt werden dürften.
Hiermit geht unsre Gleichung 35) für x gliedweise entsprechend
über in diese für y:
41) αβ̄β̄̆yy̆ + ᾱβδ̄yȳ̆ + ᾱβ̆δ̄ȳy̆ + β̄β̄̆δȳȳ̆ = 0.
[Um bequem zu rechnen, multiplizire man αx mit αx̆, βx mit βx̄̆, etc.;
auch unterlasse man nicht, die Resultante zu berücksichtigen, kraft welcher
sich z. B. αxx̆ = αβ̄β̄̆yy̆ + αββ̆δȳȳ̆ zum ersten Gliede reduzirt, u. s. w.]
Die beiden mittleren Koeffizienten in dieser Gleichung schliessen
bereits die Randkoeffizienten aus. Auch letztere zerfällen wir, sie nach
den α, δ vollends entwickelnd, in disjunkte Teile, und erhalten:
42) [FORMEL]
Indem wir nun die Unbekannte x successive in den unbestimmten
Parametern: y (was bereits geschehn), z, w, v, u ausdrücken, bringen
wir eines von den Gliedern oder Gliederpaaren unsres Gleichungs-
polynoms nach dem andern zum Verschwinden.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 312. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/326>, abgerufen am 13.05.2024.
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