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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Achte Vorlesung.
w = aao + (an + an)u, wn = aaon + (an + an)un
w = aao + (an + an)u, wn = aaon + (an + an)un.

[Der Ausdruck von wn ergibt sich am schnellsten nach "meinem"
Theorem des identischen Kalkuls aufgrund der Bemerkung, dass w nach
dem Argument aa "entwickelt" erscheint, also blos die Koeffizienten der
beiden Konstituenten negirt zu werden brauchen. Andernfalls hätte man
einige Rechnung und müsste, was übrigens keine Schwierigkeit bietet, am
Schlusse das Eingehen, Absorbirtwerden des Gliedes onun nachweisen.]

In die Ergebnisse könnten wir nun den Ausdruck aus 31) für o ein-
setzen. Dabei verschlägt es nichts, dasselbe Relativ als u zu verwenden,
welches bereits im zweiten Gliede von w vorkommt.

[Man würde durch die Wahl zweier verschieden zu bezeichnender, un-
abhängig beliebiger Relative u und u' für das u ausserhalb und für das
innerhalb des Ausdrucks von o doch kein allgemeineres Ergebniss für w
erhalten, als wenn man beide u identifizirt, aus dem Grunde weil die
beiden Glieder von w einander gegenseitig ausschliessen, mithin auch bei
übereinstimmender Wahl des u der aus diesem zum ersten Glied von w
beigesteuerte Komplex von Stellenpaaren unabhängig beliebig bleibt von
dem unter das zweite Glied fallenden Teile von u.]

In der That stimmt, da der Term 1'u wegen 1' an (siehe unten) ein-
gehn wird, mit
w = aa{uun + (u + un)g} + (an + an)u, wn = aa{uun + (u + un)gn} + (an + an)un
nicht nur die Probe 1: 0'aawn = 0'aaw ersichtlich wegen 0'gn = 0'g, son-
dern auch die Probe 2. Letzteres insofern als, wenn bei a = 0'a das
Relativ u selbst schon Wurzel der Gleichung aaun = aau ist, ebendiese als
w = u sich wiedererzeugt. Dann wird nämlich auch aau = aauun; es geht
der mit dem Faktor g behaftete Term von w im vorhergehenden Gliede
ein und wird: w = aau + (an + an)u = u, q. e. d.

Als Verallgemeinerung von 31) können wir somit den Satz notiren:
32) [Formel 1] .

Die zugefügte Resultante folgt nämlich mit aawwn( wwn) 0' und
aawnw( wnw) 0' durch Überaddiren zur Prämisse aa(ww + wnwn) 0
zunächst in der Gestalt aa · 1 oder aa 0', woraus durch Überaddiren
mit aan 0' endlich zu schliessen ist: a · 1 oder a 0'.

Mit den gefundnen Werten von w, wn wird S. 304:
v = an(a + u) + ao, vn = an(a + un) + aon, av = a(an + o), avn = a(an + on),
x = av · avn = a(an + oon) = a{an + uun + (u + 0'un)ggn + 1'ugn} =
= a(an + o) = a{an + uun + (u + un)g},
sintemal ggn = 0'ggn = 0'g = g sein muss (gleichwie das Analoge in o gilt)
und 1'gn = 1', das Glied 1'u aber sich mit dem Faktor a, = 0'a, zerstört.

Damit ist die angegebne Lösung des linkseitigen Problems in 14)
gewonnen.


Achte Vorlesung.
w = aăω + (ā + ā̆)u, w̄ = aăω̄ + (ā + ā̆)ū
w̆ = aăω̆ + (ā + ā̆)ŭ, w̄̆ = aăω̄̆ + (ā + ā̆)ū̆.

[Der Ausdruck von w̄ ergibt sich am schnellsten nach „meinem“
Theorem des identischen Kalkuls aufgrund der Bemerkung, dass w nach
dem Argument aă „entwickelt“ erscheint, also blos die Koeffizienten der
beiden Konstituenten negirt zu werden brauchen. Andernfalls hätte man
einige Rechnung und müsste, was übrigens keine Schwierigkeit bietet, am
Schlusse das Eingehen, Absorbirtwerden des Gliedes ω̄ū nachweisen.]

In die Ergebnisse könnten wir nun den Ausdruck aus 31) für ω ein-
setzen. Dabei verschlägt es nichts, dasselbe Relativ als u zu verwenden,
welches bereits im zweiten Gliede von w vorkommt.

[Man würde durch die Wahl zweier verschieden zu bezeichnender, un-
abhängig beliebiger Relative u und u' für das u ausserhalb und für das
innerhalb des Ausdrucks von ω doch kein allgemeineres Ergebniss für w
erhalten, als wenn man beide u identifizirt, aus dem Grunde weil die
beiden Glieder von w einander gegenseitig ausschliessen, mithin auch bei
übereinstimmender Wahl des u der aus diesem zum ersten Glied von w
beigesteuerte Komplex von Stellenpaaren unabhängig beliebig bleibt von
dem unter das zweite Glied fallenden Teile von u.]

In der That stimmt, da der Term 1'u wegen 1' ⋹ ā (siehe unten) ein-
gehn wird, mit
w = aă{uū̆ + (u + ū̆)g} + (ā + ā̆)u, w̄̆ = aă{uū̆ + (u + ū̆)ḡ̆} + (ā + ā̆)ū̆
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dern auch die Probe 2. Letzteres insofern als, wenn bei a = 0'a das
Relativ u selbst schon Wurzel der Gleichung aăū̆ = aău ist, ebendiese als
w = u sich wiedererzeugt. Dann wird nämlich auch aău = aăuū̆; es geht
der mit dem Faktor g behaftete Term von w im vorhergehenden Gliede
ein und wird: w = aău + (ā + ā̆)u = u, q. e. d.

Als Verallgemeinerung von 31) können wir somit den Satz notiren:
32) [Formel 1] .

Die zugefügte Resultante folgt nämlich mit aăww̄̆(⋹ ww̄̆) ⋹ 0' und
aăw̄w̆(⋹ w̄w̆) ⋹ 0' durch Überaddiren zur Prämisse aă(ww̆ + w̄w̄̆) ⋹ 0
zunächst in der Gestalt aă · 1 oder aă ⋹ 0', woraus durch Überaddiren
mit aā̆ ⋹ 0' endlich zu schliessen ist: a · 1 oder a ⋹ 0'.

Mit den gefundnen Werten von w, w̄̆ wird S. 304:
v = ā̆(a + u) + aω, v̄̆ = ā̆(a + ū̆) + aω̄̆, av = a(ā̆ + ω), av̄̆ = a(ā̆ + ω̄̆),
x = av · av̄̆ = a(ā̆ + ωω̄̆) = a{ā̆ + uū̆ + (u + 0'ū̆)gḡ̆ + 1'uḡ̆} =
= a(ā̆ + ω) = a{ā̆ + uū̆ + (u + ū̆)g},
sintemal gḡ̆ = 0'gḡ̆ = 0'g = g sein muss (gleichwie das Analoge in ω gilt)
und 1'ḡ̆ = 1', das Glied 1'u aber sich mit dem Faktor a, = 0'a, zerstört.

Damit ist die angegebne Lösung des linkseitigen Problems in 14)
gewonnen.


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[308/0322] Achte Vorlesung. w = aăω + (ā + ā̆)u, w̄ = aăω̄ + (ā + ā̆)ū w̆ = aăω̆ + (ā + ā̆)ŭ, w̄̆ = aăω̄̆ + (ā + ā̆)ū̆. [Der Ausdruck von w̄ ergibt sich am schnellsten nach „meinem“ Theorem des identischen Kalkuls aufgrund der Bemerkung, dass w nach dem Argument aă „entwickelt“ erscheint, also blos die Koeffizienten der beiden Konstituenten negirt zu werden brauchen. Andernfalls hätte man einige Rechnung und müsste, was übrigens keine Schwierigkeit bietet, am Schlusse das Eingehen, Absorbirtwerden des Gliedes ω̄ū nachweisen.] In die Ergebnisse könnten wir nun den Ausdruck aus 31) für ω ein- setzen. Dabei verschlägt es nichts, dasselbe Relativ als u zu verwenden, welches bereits im zweiten Gliede von w vorkommt. [Man würde durch die Wahl zweier verschieden zu bezeichnender, un- abhängig beliebiger Relative u und u' für das u ausserhalb und für das innerhalb des Ausdrucks von ω doch kein allgemeineres Ergebniss für w erhalten, als wenn man beide u identifizirt, aus dem Grunde weil die beiden Glieder von w einander gegenseitig ausschliessen, mithin auch bei übereinstimmender Wahl des u der aus diesem zum ersten Glied von w beigesteuerte Komplex von Stellenpaaren unabhängig beliebig bleibt von dem unter das zweite Glied fallenden Teile von u.] In der That stimmt, da der Term 1'u wegen 1' ⋹ ā (siehe unten) ein- gehn wird, mit w = aă{uū̆ + (u + ū̆)g} + (ā + ā̆)u, w̄̆ = aă{uū̆ + (u + ū̆)ḡ̆} + (ā + ā̆)ū̆ nicht nur die Probe 1: 0'aăw̄̆ = 0'aăw ersichtlich wegen 0'ḡ̆ = 0'g, son- dern auch die Probe 2. Letzteres insofern als, wenn bei a = 0'a das Relativ u selbst schon Wurzel der Gleichung aăū̆ = aău ist, ebendiese als w = u sich wiedererzeugt. Dann wird nämlich auch aău = aăuū̆; es geht der mit dem Faktor g behaftete Term von w im vorhergehenden Gliede ein und wird: w = aău + (ā + ā̆)u = u, q. e. d. Als Verallgemeinerung von 31) können wir somit den Satz notiren: 32) [FORMEL]. Die zugefügte Resultante folgt nämlich mit aăww̄̆(⋹ ww̄̆) ⋹ 0' und aăw̄w̆(⋹ w̄w̆) ⋹ 0' durch Überaddiren zur Prämisse aă(ww̆ + w̄w̄̆) ⋹ 0 zunächst in der Gestalt aă · 1 oder aă ⋹ 0', woraus durch Überaddiren mit aā̆ ⋹ 0' endlich zu schliessen ist: a · 1 oder a ⋹ 0'. Mit den gefundnen Werten von w, w̄̆ wird S. 304: v = ā̆(a + u) + aω, v̄̆ = ā̆(a + ū̆) + aω̄̆, av = a(ā̆ + ω), av̄̆ = a(ā̆ + ω̄̆), x = av · av̄̆ = a(ā̆ + ωω̄̆) = a{ā̆ + uū̆ + (u + 0'ū̆)gḡ̆ + 1'uḡ̆} = = a(ā̆ + ω) = a{ā̆ + uū̆ + (u + ū̆)g}, sintemal gḡ̆ = 0'gḡ̆ = 0'g = g sein muss (gleichwie das Analoge in ω gilt) und 1'ḡ̆ = 1', das Glied 1'u aber sich mit dem Faktor a, = 0'a, zerstört. Damit ist die angegebne Lösung des linkseitigen Problems in 14) gewonnen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 308. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/322>, abgerufen am 23.11.2024.