Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.

ω = 1'u + uū̆ + (u + ū̆)g, ω̄ = ūŭ + (ū + 0'ŭ)ḡ,
ω̆ = 1'u + ūŭ + (ū + ŭ)ğ, ω̄̆ = uū̆ + (u + 0'ū̆)ḡ̆.
Und damit wird:
ωω̆ = 1'u + (uŭ + ūū̆)gğ, ω̄ω̄̆ = 0'(uŭ + ūū̆)ḡḡ̆,
also wegen 30) in der That 0'(ωω̆ + ω̄ω̄̆) = 0, d. h. die Probe 1 stimmt
mit unsrer Lösung.

Noch schneller konnte man sie in der Form 0'ω̄̆ = 0'ω aus 0'ḡ̆ = 0'g
bewahrheiten.

Es stimmt aber auch die Probe 2: unser Resultat ist fähig jede ge-
wünschte Lösung zu liefern. Denn ist u von vornherein eine solche, mithin
jedenfalls 0'u = 0'ū̆, so haben wir auch
0'u = 0'ū̆ = 0'uū̆ = uū̆,
also 1'u + uū̆ = 1'u + 0'u = u und muss ω = u selbst werden, indem dessen
letztes Glied (u + ū̆)g = (0'u + 0'ū̆)g = 0'ug im ersten u dann eingeht,
von ihm absorbirt wird.

Somit ist etablirt der Satz:
31) [Formel 1] ,
wo g wie über 30) definirt ist, d. h. (irgend) eine spezielle Wurzel der
Gleichung linkerhand vorstellt — und die Aufgabe 29) ist gelöst.

Um nun von hier zur vollständigen Lösung der allgemeinern Auf-
gabe 28) zu gelangen:
0'aă(ww̆ + w̄w̄̆) = 0,
bemerken wir, dass (vergl. § 9) der erste Faktor 0'aă aus dem unter 0'
enthaltenen, sonst irgendwie gegebnen Relativ a lediglich dessen parige
Augen hervorhebt. Auf diese müssen nun — so soll w bestimmt werden —
sowol bei ww̆ als bei w̄w̄̆ lauter Leerstellen fallen. Im Hinblick auf die
Schemata Fig. 20 des § 9, wenn wir uns diese für ein Relativ w statt a
aufgestellt denken, gibt dies zwei Bedingungen.

Um der erstern Forderung zu entsprechen, müssen auf die Stellen der
parigen Augen von a bei w fallen: entweder unparig besetzte oder Leer-
stellen, d. i. Stellen von den Kategorieen 2) oder 3) der ersten Fig. 19.

Um aber der zweiten Forderung zu entsprechen, müssen ebenhierauf
bei w fallen: entweder parig besetzte oder unparig besetzte Stellen, d. i.
solche von den Kategorieen 1) oder 2) genannter Figur.

Folglich müssen, um beiden Forderungen zugleich zu entsprechen,
bei w ebendahin fallen: Stellen der Kategorie 2) jener Figur, das ist: un-
parig besetzte Stellen.

Wir werden sonach die allgemeinste Wurzel w der Gleichung 28) er-
halten indem wir, sie aus zwei Teilen zusammensetzend, erstens aă multi-
pliziren mit dem allgemeinsten Relativ ω mit lauter unparig besetzten
Stellen, zweitens hinzufügen das Negat ā + ā̆ von aă, multiplizirt mit
einem beliebigen Relativ u, sodass gefunden ist:

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