Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen.

22) [Formel 1]
wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem
man α für u sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor,
indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 ɟ a = 0 ɟ α, ā ; 1 = ᾱ ; 1 wird.
Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten
Subsumtion 19) mittelst b ⋹ 0 ɟ a oder b = β(0 ɟ a) genügt, und den Wert
in die erste einträgt. Diese wird: ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β(0 ɟ a) = 1 ; β · (0 ɟ a) und
zerfällt in ā ; 1 · a ⋹ 0 ɟ a, was auf 18) hinauskommt, und in ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β,
welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge-
eignete Bestimmung von β zu genügen ist. Die Lösung wird:
β = u + ā ; 1 · a · (0 ɟ ū), womit b = (0 ɟ a)u + (0 ɟ a) · ā ; 1 · a · (0 ɟ ū)
gewonnen ist, was sich noch wegen (0 ɟ a)a = 0 ɟ a vereinfacht. Sagt
man schliesslich β für die definitiv verbleibende Unbestimmte u des Er-
gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden.

Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit
dem Ergebnisse 22) zu machen, also erstens zu zeigen, dass die Resul-
tante 17) für beliebige α und β durch das System der Ausdrücke 22) er-
füllt wird, und zweitens nachzuweisen, dass man ein gegebenes der Resul-
tante 17) genügendes Wertepaar a, b mittelst der Annahme α = a, β = b
aus 22) richtig erhält.

Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An-
wendung bereits bekannter Sätze zu der Formel:
α ɟ 0 ɟ α = α ɟ 0 + (0 ɟ α) · 1 ; β + (0 ɟ α) · 1 ; ᾱ ; 1,
welche sowol für α = 1 als für α ≠ 1 mit einiger Kunst zu recht-
fertigen ist.

Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation:
(0 ɟ a){b + ā ; 1 · (0 ɟ b̄)} = b oder (0 ɟ a) · ā ; 1 · b̄(0 ɟ b̄) + b · 1 ; ā = 0
wo in der That der erste Term wegen ā ; 1 · (0 ɟ b̄) = ā und ā(0 ɟ a) = 0,
der letzte wegen (1 ; b ⋹ a) = (b ⋹ 0 ɟ a) = (1 ; ā ⋹ b̄) verschwindet.

Wir haben oben die Resultante der Elimination von b aus der
Gleichung 17) abgeleitet. Man kann aber endlich auch die Frage auf-
werfen nach der Resultante der Elimination von a aus dieser Gleichung
17) — als einer Relation für b. Die Antwort lautet: eine solche gibt
es nicht. Das Relativ b kann beliebig angenommen werden, und es
lässt sich allemal ein a bestimmen, welches dann die Gleichung 17)
erfüllt.

Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22)
a = α ɟ 0 ɟ α zu nehmen:
α = 1 ; b.

Damit wird auch 0 ɟ α = 1 ; b und a = 1 ; b ɟ 1 ; b = 1 ; b, welch letz-
terer Vereinfachung zugrunde liegt der

Schröder, Algebra der Relative. 19