Dass unsre Resultante 18) die volle ist, geht daraus hervor, dass man, sobald sie erfüllt ist, der Forderung 17) immer durch b = 0 j a ge- nügen kann, wie mit Rücksicht auf 1 ; (0 j a) = 0 j a leicht zu sehn ist -- q. e. d.
Man kann nun zuerst die allgemeinste Wurzel a der Gleichung 18) aufsuchen und darnach aus der Doppelsubsumtion: 19) an ; 1 · a 1 ; ba das b berechnen. Ersteres zu leisten lehrt ein bemerkenswerter
Satz 20)
[Tabelle]
worin auf der linken Seite der Aussagenäquivalenzen auch für = schreibbar.
Beweis. Bei beliebigem u stimmt die Probe 1. Für x = u ; 1 ; u wird nämlich nach 9): x ; 1 ; x = u ; 1 ; u ; 1 ; u ; 1 ; u = u ; 1 ; u = x, q. e. d.
Man kann jedoch hier auch so schliessen: Nach 5) des § 11 ist x ; 1 ; x = u ; 1 ; u ; 1 · 1 ; u ; 1 ; u. Nun gilt ferner der
Satz 21)
[Formel 1]
Der erste dieses Gespannes beweist sich wie folgt. Es ist: Li j = Sh k lai hak l = Shai h · Sk lak l = Shai h = Ri j weil Shai hSk lak l = SkShak h sein muss, indem die rechte Seite bei k = i die linke als Summanden aufweist -- q. e. d.
Man kann den Beweis hier auch mittelbar führen. Die zu be- weisende Formel ist richtig (indem sie auf 0 = 0 hinausläuft) für a = 0. Also bleibt sie nur noch für a 0 zu beweisen. Nun ist nach vorhin citirtem Schema: L = a ; 1 · 1 ; a ; 1 = R · 1 ; a ; 1. Aber für a 0 ist 1 ; a ; 1 = 1, somit in der That L = R, q. e. d.
Nach den linkseitigen Schemata 21) erhalten wir also oben: x ; 1 ; x = u ; 1 · 1 ; u = u ; 1 ; u mithin = x, q. e. d. -- d. h. es stimmte für den Satz 20) die Probe 1.
Dass auch die Probe 2 stimmt, nämlich dass die Formel x = u ; 1 ; u für ein derart gegebenes x dass x ; 1 ; x = x ist, ebendieses bei der An- nahme u = x liefert, ist augenscheinlich.
Nach alledem werden wir nun also der Forderung der Resultante 17) in unabhängigen Parametern a, b auf die allgemeinste Weise genügen können, indem wir setzen:
Siebente Vorlesung.
Dass unsre Resultante 18) die volle ist, geht daraus hervor, dass man, sobald sie erfüllt ist, der Forderung 17) immer durch b = 0 ɟ a ge- nügen kann, wie mit Rücksicht auf 1 ; (0 ɟ a) = 0 ɟ a leicht zu sehn ist — q. e. d.
Man kann nun zuerst die allgemeinste Wurzel a der Gleichung 18) aufsuchen und darnach aus der Doppelsubsumtion: 19) ā ; 1 · a ⋹ 1 ; b ⋹ a das b berechnen. Ersteres zu leisten lehrt ein bemerkenswerter
Satz 20)
[Tabelle]
worin auf der linken Seite der Aussagenäquivalenzen auch ⋹ für = schreibbar.
Beweis. Bei beliebigem u stimmt die Probe 1. Für x = u ; 1 ; u wird nämlich nach 9): x ; 1 ; x = u ; 1 ; u ; 1 ; u ; 1 ; u = u ; 1 ; u = x, q. e. d.
Man kann jedoch hier auch so schliessen: Nach 5) des § 11 ist x ; 1 ; x = u ; 1 ; u ; 1 · 1 ; u ; 1 ; u. Nun gilt ferner der
Satz 21)
[Formel 1]
Der erste dieses Gespannes beweist sich wie folgt. Es ist: Li j = Σh k lai hak l = Σhai h · Σk lak l = Σhai h = Ri j weil Σhai h ⋹ Σk lak l = ΣkΣhak h sein muss, indem die rechte Seite bei k = i die linke als Summanden aufweist — q. e. d.
Man kann den Beweis hier auch mittelbar führen. Die zu be- weisende Formel ist richtig (indem sie auf 0 = 0 hinausläuft) für a = 0. Also bleibt sie nur noch für a ≠ 0 zu beweisen. Nun ist nach vorhin citirtem Schema: L = a ; 1 · 1 ; a ; 1 = R · 1 ; a ; 1. Aber für a ≠ 0 ist 1 ; a ; 1 = 1, somit in der That L = R, q. e. d.
Nach den linkseitigen Schemata 21) erhalten wir also oben: x ; 1 ; x = u ; 1 · 1 ; u = u ; 1 ; u mithin = x, q. e. d. — d. h. es stimmte für den Satz 20) die Probe 1.
Dass auch die Probe 2 stimmt, nämlich dass die Formel x = u ; 1 ; u für ein derart gegebenes x dass x ; 1 ; x = x ist, ebendieses bei der An- nahme u = x liefert, ist augenscheinlich.
Nach alledem werden wir nun also der Forderung der Resultante 17) in unabhängigen Parametern α, β auf die allgemeinste Weise genügen können, indem wir setzen:
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Siebente Vorlesung.
Dass unsre Resultante 18) die volle ist, geht daraus hervor, dass
man, sobald sie erfüllt ist, der Forderung 17) immer durch b = 0 ɟ a ge-
nügen kann, wie mit Rücksicht auf 1 ; (0 ɟ a) = 0 ɟ a leicht zu sehn ist —
q. e. d.
Man kann nun zuerst die allgemeinste Wurzel a der Gleichung 18)
aufsuchen und darnach aus der Doppelsubsumtion:
19) ā ; 1 · a ⋹ 1 ; b ⋹ a
das b berechnen. Ersteres zu leisten lehrt ein bemerkenswerter
Satz
20)
worin auf der linken Seite der Aussagenäquivalenzen auch ⋹ für =
schreibbar.
Beweis. Bei beliebigem u stimmt die Probe 1. Für x = u ; 1 ; u
wird nämlich nach 9):
x ; 1 ; x = u ; 1 ; u ; 1 ; u ; 1 ; u = u ; 1 ; u = x, q. e. d.
Man kann jedoch hier auch so schliessen: Nach 5) des § 11 ist
x ; 1 ; x = u ; 1 ; u ; 1 · 1 ; u ; 1 ; u. Nun gilt ferner der
Satz
21) [FORMEL]
Der erste dieses Gespannes beweist sich wie folgt. Es ist:
Li j = Σh k lai hak l = Σhai h · Σk lak l = Σhai h = Ri j
weil Σhai h ⋹ Σk lak l = ΣkΣhak h sein muss, indem die rechte Seite bei k = i
die linke als Summanden aufweist — q. e. d.
Man kann den Beweis hier auch mittelbar führen. Die zu be-
weisende Formel ist richtig (indem sie auf 0 = 0 hinausläuft) für a = 0.
Also bleibt sie nur noch für a ≠ 0 zu beweisen. Nun ist nach vorhin
citirtem Schema: L = a ; 1 · 1 ; a ; 1 = R · 1 ; a ; 1. Aber für a ≠ 0 ist
1 ; a ; 1 = 1, somit in der That L = R, q. e. d.
Nach den linkseitigen Schemata 21) erhalten wir also oben:
x ; 1 ; x = u ; 1 · 1 ; u = u ; 1 ; u mithin = x, q. e. d.
— d. h. es stimmte für den Satz 20) die Probe 1.
Dass auch die Probe 2 stimmt, nämlich dass die Formel x = u ; 1 ; u
für ein derart gegebenes x dass x ; 1 ; x = x ist, ebendieses bei der An-
nahme u = x liefert, ist augenscheinlich.
Nach alledem werden wir nun also der Forderung der Resultante 17)
in unabhängigen Parametern α, β auf die allgemeinste Weise genügen
können, indem wir setzen:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 288. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/302>, abgerufen am 12.05.2024.
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