Augenquaderrelativ zu a ; 1 und 1 ; b, ein solches der Form a j 0 j b als das Lückenquaderrelativ zu a j 0 und 0 j b.
Wird für den Augenblick das Relativ rechterhand (somit auch das linkerhand) in Gleichung 8) mit c resp. d bezeichnet, so gilt nach 6) c = c ; 1 ; c, d = d j 0 j d, und somit haben wir auch noch den Satz: 9)
a ; 1 ; b ; 1 ; a ; 1 ; b = a ; 1 ; b
a j 0 j b j 0 j a j 0 j b = a j 0 j b
aus welchem zu ersehen ist in welcher Weise ein Ausdruck der Form a ; 1 ; b gebracht werden kann auf die speziellere Form c ; 1 ; c, indem er nämlich sich darstellen lässt als (a ; 1 ; b) ; 1 ; (a ; 1 ; b), etc.
Auch über das Quaderrelativ (der einen oder andern Art) zu zwei (verschiednen oder auch identischen) Quaderrelativen (sei es derselben, sei es der entgegengesetzten Art) lassen sich noch (nicht uninteres- sante) Sätze aufstellen, die wir dem Studirenden überweisen.
Als beachtenswert dürfte schliesslich zu erwähnen sein, dass zwischen den Ergebnissen unsrer Transoperationen und denen der übrigen knüpfenden Spezies folgende Einordnungen bestehen: 10)
[Formel 1]
deren letzte als das Analogon zur ersten bei den Transoperationen erscheint. Für die relativen knüpfenden Spezies gibt es solche Analoga (zu der obigen Subsumtion zwischen den identischen Knüpfungsergeb- nissen) nicht.
Von diesen Sätzen folgen die der zweiten und dann auch die der letzten Zeile a fortiori aus den bekannten 8) des § 15 etc. Die der dritten Zeile sind leicht aus den Koeffizienten zu rechtfertigen, weil das Produkt im Faktor, das Glied in der Summe enthalten ist.
Die der vorletzten Zeile fliessen a fortiori aus a j 0 a j b, a ; ba ; 1, etc.
Es ist also das "Transprodukt" zweier Relative eingeordnet den Ergebnissen aller vier knüpfenden "Spezies" und von letztern jedes wiederum eingeordnet der "Transsumme" ebendieser Relative. --
Nunmehr wollen wir auch für die Transoperationen die zwölf elementaren Inversionsprobleme lösen, was besonders bei dem dritten Quadrupel einiges theoretisches Interesse darbietet.
Nach den Aussagenschemata 6) des § 8 müssen wir haben:
§ 20. Sätze von Quaderrelativen.
Augenquaderrelativ zu a ; 1 und 1 ; b, ein solches der Form a ɟ 0 ɟ b als das Lückenquaderrelativ zu a ɟ 0 und 0 ɟ b.
Wird für den Augenblick das Relativ rechterhand (somit auch das linkerhand) in Gleichung 8) mit c resp. d bezeichnet, so gilt nach 6) c = c ; 1 ; c, d = d ɟ 0 ɟ d, und somit haben wir auch noch den Satz: 9)
a ; 1 ; b ; 1 ; a ; 1 ; b = a ; 1 ; b
a ɟ 0 ɟ b ɟ 0 ɟ a ɟ 0 ɟ b = a ɟ 0 ɟ b
aus welchem zu ersehen ist in welcher Weise ein Ausdruck der Form a ; 1 ; b gebracht werden kann auf die speziellere Form c ; 1 ; c, indem er nämlich sich darstellen lässt als (a ; 1 ; b) ; 1 ; (a ; 1 ; b), etc.
Auch über das Quaderrelativ (der einen oder andern Art) zu zwei (verschiednen oder auch identischen) Quaderrelativen (sei es derselben, sei es der entgegengesetzten Art) lassen sich noch (nicht uninteres- sante) Sätze aufstellen, die wir dem Studirenden überweisen.
Als beachtenswert dürfte schliesslich zu erwähnen sein, dass zwischen den Ergebnissen unsrer Transoperationen und denen der übrigen knüpfenden Spezies folgende Einordnungen bestehen: 10)
[Formel 1]
deren letzte als das Analogon zur ersten bei den Transoperationen erscheint. Für die relativen knüpfenden Spezies gibt es solche Analoga (zu der obigen Subsumtion zwischen den identischen Knüpfungsergeb- nissen) nicht.
Von diesen Sätzen folgen die der zweiten und dann auch die der letzten Zeile a fortiori aus den bekannten 8) des § 15 etc. Die der dritten Zeile sind leicht aus den Koeffizienten zu rechtfertigen, weil das Produkt im Faktor, das Glied in der Summe enthalten ist.
Die der vorletzten Zeile fliessen a fortiori aus a ɟ 0 ⋹ a ɟ b, a ; b ⋹ a ; 1, etc.
Es ist also das „Transprodukt“ zweier Relative eingeordnet den Ergebnissen aller vier knüpfenden „Spezies“ und von letztern jedes wiederum eingeordnet der „Transsumme“ ebendieser Relative. —
Nunmehr wollen wir auch für die Transoperationen die zwölf elementaren Inversionsprobleme lösen, was besonders bei dem dritten Quadrupel einiges theoretisches Interesse darbietet.
Nach den Aussagenschemata 6) des § 8 müssen wir haben:
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§ 20. Sätze von Quaderrelativen.
Augenquaderrelativ zu a ; 1 und 1 ; b, ein solches der Form a ɟ 0 ɟ b als
das Lückenquaderrelativ zu a ɟ 0 und 0 ɟ b.
Wird für den Augenblick das Relativ rechterhand (somit auch das
linkerhand) in Gleichung 8) mit c resp. d bezeichnet, so gilt nach 6)
c = c ; 1 ; c, d = d ɟ 0 ɟ d, und somit haben wir auch noch den Satz:
9) a ; 1 ; b ; 1 ; a ; 1 ; b = a ; 1 ; b a ɟ 0 ɟ b ɟ 0 ɟ a ɟ 0 ɟ b = a ɟ 0 ɟ b
aus welchem zu ersehen ist in welcher Weise ein Ausdruck der Form
a ; 1 ; b gebracht werden kann auf die speziellere Form c ; 1 ; c, indem
er nämlich sich darstellen lässt als (a ; 1 ; b) ; 1 ; (a ; 1 ; b), etc.
Auch über das Quaderrelativ (der einen oder andern Art) zu zwei
(verschiednen oder auch identischen) Quaderrelativen (sei es derselben,
sei es der entgegengesetzten Art) lassen sich noch (nicht uninteres-
sante) Sätze aufstellen, die wir dem Studirenden überweisen.
Als beachtenswert dürfte schliesslich zu erwähnen sein, dass
zwischen den Ergebnissen unsrer Transoperationen und denen der
übrigen knüpfenden Spezies folgende Einordnungen bestehen:
10) [FORMEL]
deren letzte als das Analogon zur ersten bei den Transoperationen
erscheint. Für die relativen knüpfenden Spezies gibt es solche Analoga
(zu der obigen Subsumtion zwischen den identischen Knüpfungsergeb-
nissen) nicht.
Von diesen Sätzen folgen die der zweiten und dann auch die der
letzten Zeile a fortiori aus den bekannten 8) des § 15 etc. Die der dritten
Zeile sind leicht aus den Koeffizienten zu rechtfertigen, weil das Produkt
im Faktor, das Glied in der Summe enthalten ist.
Die der vorletzten Zeile fliessen a fortiori aus
a ɟ 0 ⋹ a ɟ b, a ; b ⋹ a ; 1, etc.
Es ist also das „Transprodukt“ zweier Relative eingeordnet den
Ergebnissen aller vier knüpfenden „Spezies“ und von letztern jedes
wiederum eingeordnet der „Transsumme“ ebendieser Relative. —
Nunmehr wollen wir auch für die Transoperationen die zwölf
elementaren Inversionsprobleme lösen, was besonders bei dem dritten
Quadrupel einiges theoretisches Interesse darbietet.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 283. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/297>, abgerufen am 10.05.2024.
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