Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Siebente Vorlesung.

Ungeachtet der Evidenz dieser Herleitung führen wir beide Proben
aus. Probe 1: Es ist
(a ; 1)(ū ɟ 0 + u) ; 1 = a ; 1 · (ū ɟ 0 + u) ; 1 = a ; 1 · {(ū ɟ 0) ; 1 + u ; 1} =
= a ; 1 · (ū ɟ 0 + u ; 1) = a ; 1 · 1 = a ; 1, q. e. d.

Probe 2. Ist x ; 1 = a ; 1, so muss x = a ; 1 · (x̄ ɟ 0 + x) als richtig
nachgewiesen werden, d. h.
x = x ; 1 · (x̄ ɟ 0 + x) = x ; 1 · x, was durch x ⋹ x ; 1
garantirt erscheint, q. e. d.

Hiernach — aus 24) — versteht sich auch 23) von selbst, zumal
über die Resultante kein Wort mehr zu verlieren ist.

Um bei 26) der Gleichung
x ; 0' = a ; 0'
zu genügen, könnte man die zur Lösung führende Diskussion auch bequem
an die von den Koeffizienten zu erfüllende Forderung anknüpfen, wonach
etwa für eine bestimmte, mit i markirte Zeile bewirkt werden muss, dass
für jedes j werde
Σ_hx_{i h}0'_{h j} = Σ_ha_{i h}0'_{h j}, d. h. x_{i A} + x_{i B} + ‥ (ohne x_{i j}) = a_{i A} + a_{i B} + ‥ (ohne a_{i j}).

Indessen, wenn man bedenkt, dass um a ; 0' zu bilden man die mehr-
besetzten Zeilen von a in Vollzeilen, die einbesetzten Zeilen von a in ihre
Negation (also in einlückige Zeilen) zu verwandeln und die Leerzeilen
von a zu belassen hat — analog bei x um x ; 0' zu bilden — so kann
man auch ohne weiteres an den Relativen selbst einsehen, dass entsprechen
müssen:

den Leerzeilen von a auch Leerzeilen bei x,

den mehrbesetzten Zeilen von a auch mehrzählig (aber vielleicht
irgendwie anders) besetzte Zeilen von x,

den einbesetzten Zeilen von a dagegen auch genau in gleicher Weise,
kongruent damit, einaugig besetzte Zeilen von x
— sowie dass diese Bedingungen auch hinreichende sein werden.

Darnach muss x sich additiv aus zwei Teilen zusammensetzen (welche
unter a ; 1 enthalten sein werden), nämlich aus dem mit a selbst multipli-
zirten Relativ ā ɟ 1', d. h. zum einen Teile aus dem (ā ɟ 1)a, welches be-
kanntlich (§ 15) die einbesetzten Zeilen von a aus diesem Relative aus-
schliesslich hervorhebt. Und zum andern Teile aus dem Relative a ; 0' ɟ 0
welches blos die mehrbesetzten Zeilen von a in Vollzeilen verwandelt, dieses
aber multiplizirt mit irgend einem (dem allgemeinsten) Relative y, welches
nur mehrbesetzte Zeilen aufweist.

Ein solches ergibt sich nach den ersten und zweiten Inversions-
theoremen systematisch als die Auflösung der Subsumtion:
27) [Formel 1]
— oder auch, weil das Problem ein reines „Zeilenproblem“ ist, nach den
Methoden des § 16 — vergl. 15) S. 229.