Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 19. Partikularfälle der dritten Inversionstheoreme.

[Formel 1]
25) [Formel 2]
26) [Formel 3]
— wovon die unchiffrirten, in denen x völlig unbestimmt bleibt resp.
völlig bestimmt, gleich a, sich erweist, wol keiner Diskussion be-
nötigen. Bis exklusive 25) ergeben sich die Formeln auch aus 18), 19)
für b = 1, 0, 1' mit Leichtigkeit.

Es wird demnach jetzt für das erste 23) resp. 24) und für das
letzte 25) resp. 26) der vier Unterprobleme die Lösung selbständig
abzuleiten sein.

Um bei 24) der Gleichung
x ; 1 = a ; 1
zu genügen, muss x so eingerichtet werden, dass alle Zeilen von x ; 1 mit
den entsprechenden von a ; 1 übereinstimmen. Diese wie jene erhält man
aber, indem man die besetzten Zeilen (von a resp. x) in Vollzeilen ver-
wandelt, die Leerzeilen beibehält. Um der Forderung zu genügen ist daher
unerlässlich und hinreichend, dass x einerseits die Leerzeilen von a eben-
falls zu Leerzeilen habe, und dass andrerseits den besetzten Zeilen von a
auch besetzte Zeilen von x entsprechen; natürlich dürfen die letzteren aber
bei x auch irgendwie anders als wie bei a besetzt sein.

Dies lässt sich nun leicht erwirken, indem man das Relativ a ; 1 (dem
die Leerzeilen von a wie gesagt als Leerzeilen angehören, die besetzten
Zeilen von a als Vollzeilen) identisch multiplizirt mit irgend einem Rela-
tive y welches nur keine Leerzeile besitzt (mithin das Konverse einer „nie
undeutigen Abbildung“ vorstellt), für welches also
y ; 1 = 1 oder 1 ⋹ y ; 1
ist. Als Ausdruck eines solchen hatten wir aber in 14) des § 16 gefunden:
y = ū ɟ 0 + u für ein willkürliches u, vergl auch 25) § 18. Folglich muss
x = a ; 1 · (ū ɟ 0 + u)
die gesuchte allgemeine Wurzel sein, q. e. d.