Dieses -- ich nenne es das "bedingte" c -- ist aber dann nicht neben b beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche lautet: 8) c = c ; b j bn und erhalten wird, indem man den Wert 5) von a in 7) einträgt.
Ergebniss der Betrachtungen ist also:
Die Auflösung der Gleichung 1) x ; b = a lässt sich wann man will zurückführen auf die einer Gleichung 6) x ; b = c ; b, in welcher zwischen b und c die Relation 8) besteht.
Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all- gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch für das allgemeine Problem aufgrund der beiden ersten Inversionstheoreme die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.
Ich will mich, durch eine Bemerkung von Peirce veranlasst, zuerst über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.
Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form x ; b = a ; b ansetzen mögen, wo a und b unabhängig beliebig gegeben zu denken, vermögen wir an Partikularlösungen zunächst dreie anzugeben: Erstens: x = a, zweitens: x = a ; b j bn. Diese beiden verstehen sich -- die letztere aus 3) -- von selbst. Drittens aber -- was ich früh durch Zufall entdeckte: x = a · a ; b ; b.
Dies beruht auf dem Satze: 9)
[Formel 1]
Beweis (des ersten). Es ist Li j = Shai hSk lai kbk lbh lbh j, was mit k = h, l = j die Glieder Ri j = Shai hbh j liefert, sodass Ri jLi j also RL feststeht. Umgekehrt versteht sich LR schon daraus, weil a(a ; b ; b) a sein muss, q. e. d.
Besässen wir nun die allgemeine Wurzel x des Problems x ; b = a ; b in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso alle möglichen Relative anzugeben, welche mit b relativ nachmultiplizirt a liefern, und verfügten wir damit sofort über eine unbegrenzte Fülle von Sätzen, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!
Ich vermag daher Herrn Peirce kaum beizustimmen, wenn er 9c p. 193 sozusagen abfällig von den "inversen Operationen" spricht. Die allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als Knüpfungsergebniss zwischen a und b (Funktion von a und b -- neben u) aufgefasst, würde uns eben die (eine) "inverse Operation" zur relativen Multiplikation dar- stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be- zeichnend).
Siebente Vorlesung.
Dieses — ich nenne es das „bedingte“ c — ist aber dann nicht neben b beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche lautet: 8) c = c ; b ɟ b̄̆ und erhalten wird, indem man den Wert 5) von a in 7) einträgt.
Ergebniss der Betrachtungen ist also:
Die Auflösung der Gleichung 1) x ; b = a lässt sich wann man will zurückführen auf die einer Gleichung 6) x ; b = c ; b, in welcher zwischen b und c die Relation 8) besteht.
Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all- gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch für das allgemeine Problem aufgrund der beiden ersten Inversionstheoreme die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.
Ich will mich, durch eine Bemerkung von Peirce veranlasst, zuerst über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.
Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form x ; b = a ; b ansetzen mögen, wo a und b unabhängig beliebig gegeben zu denken, vermögen wir an Partikularlösungen zunächst dreie anzugeben: Erstens: x = a, zweitens: x = a ; b ɟ b̄̆. Diese beiden verstehen sich — die letztere aus 3) — von selbst. Drittens aber — was ich früh durch Zufall entdeckte: x = a · a ; b ; b̆.
Dies beruht auf dem Satze: 9)
[Formel 1]
Beweis (des ersten). Es ist Li j = Σhai hΣk lai kbk lbh lbh j, was mit k = h, l = j die Glieder Ri j = Σhai hbh j liefert, sodass Ri j ⋹ Li j also R ⋹ L feststeht. Umgekehrt versteht sich L ⋹ R schon daraus, weil a(a ; b ; b̆) ⋹ a sein muss, q. e. d.
Besässen wir nun die allgemeine Wurzel x des Problems x ; b = a ; b in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso alle möglichen Relative anzugeben, welche mit b relativ nachmultiplizirt a liefern, und verfügten wir damit sofort über eine unbegrenzte Fülle von Sätzen, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!
Ich vermag daher Herrn Peirce kaum beizustimmen, wenn er 9c p. 193 sozusagen abfällig von den „inversen Operationen“ spricht. Die allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als Knüpfungsergebniss zwischen a und b (Funktion von a und b — neben u) aufgefasst, würde uns eben die (eine) „inverse Operation“ zur relativen Multiplikation dar- stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be- zeichnend).
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0274"n="260"/><fwplace="top"type="header">Siebente Vorlesung.</fw><lb/><p>Dieses — ich nenne es das „<hirendition="#i">bedingte</hi>“<hirendition="#i">c</hi>— ist aber dann nicht<lb/>
neben <hirendition="#i">b</hi> beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche<lb/>
lautet:<lb/>
8) <hirendition="#et"><hirendition="#i">c</hi> = <hirendition="#i">c</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi></hi><lb/>
und erhalten wird, indem man den Wert 5) von <hirendition="#i">a</hi> in 7) einträgt.</p><lb/><p>Ergebniss der Betrachtungen ist also:</p><lb/><p>Die Auflösung der Gleichung 1) <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">a lässt sich</hi> wann man<lb/>
will <hirendition="#i">zurückführen</hi> auf die einer Gleichung 6) <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">c</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>, <hirendition="#i">in welcher<lb/>
zwischen b und c die Relation</hi> 8) <hirendition="#i">besteht</hi>.</p><lb/><p>Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie<lb/>
leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang<lb/>
es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all-<lb/>
gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch<lb/>
für das allgemeine Problem <hirendition="#i">aufgrund</hi> der beiden ersten Inversionstheoreme<lb/>
die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.</p><lb/><p>Ich will mich, durch eine Bemerkung von <hirendition="#g">Peirce</hi> veranlasst, zuerst<lb/>
über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.</p><lb/><p>Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form<lb/><hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> ansetzen mögen, wo <hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">b</hi> unabhängig beliebig gegeben zu<lb/>
denken, vermögen wir an Partikular<hirendition="#i">lösungen</hi> zunächst <hirendition="#i">dreie</hi> anzugeben:<lb/>
Erstens: <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">a</hi>, zweitens: <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi>. Diese beiden verstehen sich —<lb/>
die letztere aus 3) — von selbst. Drittens aber — was ich früh durch<lb/>
Zufall entdeckte: <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">a</hi> · <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> ; <hirendition="#i">b̆</hi>.</p><lb/><p>Dies beruht auf dem <hirendition="#g">Satze</hi>:<lb/>
9) <formula/><lb/></p><p><hirendition="#g">Beweis</hi> (des ersten). Es ist <hirendition="#i">L<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">h</hi>a<hirendition="#sub">i h</hi>Σ<hirendition="#sub">k l</hi>a<hirendition="#sub">i k</hi>b<hirendition="#sub">k l</hi>b<hirendition="#sub">h l</hi>b<hirendition="#sub">h j</hi></hi>, was mit<lb/><hirendition="#i">k</hi> = <hirendition="#i">h</hi>, <hirendition="#i">l</hi> = <hirendition="#i">j</hi> die Glieder <hirendition="#i">R<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">h</hi>a<hirendition="#sub">i h</hi>b<hirendition="#sub">h j</hi></hi> liefert, sodass <hirendition="#i">R<hirendition="#sub">i j</hi></hi>⋹<hirendition="#i">L<hirendition="#sub">i j</hi></hi> also <hirendition="#i">R</hi>⋹<hirendition="#i">L</hi><lb/>
feststeht. Umgekehrt versteht sich <hirendition="#i">L</hi>⋹<hirendition="#i">R</hi> schon daraus, weil <hirendition="#i">a</hi>(<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> ; <hirendition="#i">b̆</hi>) ⋹<hirendition="#i">a</hi><lb/>
sein muss, q. e. d.</p><lb/><p>Besässen wir nun die <hirendition="#i">allgemeine</hi> Wurzel <hirendition="#i">x</hi> des Problems <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi><lb/>
in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso<lb/>
alle möglichen Relative anzugeben, welche mit <hirendition="#i">b</hi> relativ nachmultiplizirt <hirendition="#i">a</hi><lb/>
liefern, und verfügten wir damit sofort über eine <hirendition="#i">unbegrenzte Fülle von<lb/>
Sätzen</hi>, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung<lb/>
des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!</p><lb/><p>Ich vermag daher Herrn <hirendition="#g">Peirce</hi> kaum beizustimmen, wenn er <hirendition="#sup">9c</hi><lb/>
p. 193 sozusagen abfällig von den „inversen Operationen“ spricht. Die<lb/>
allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als <hirendition="#i">Knüpfungs</hi>ergebniss<lb/>
zwischen <hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">b</hi> (Funktion von <hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">b</hi>— neben <hirendition="#i">u</hi>) aufgefasst, würde<lb/>
uns eben die (eine) „inverse Operation“ zur relativen Multiplikation dar-<lb/>
stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative<lb/>
Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be-<lb/>
zeichnend).</p><lb/></div></div></body></text></TEI>
[260/0274]
Siebente Vorlesung.
Dieses — ich nenne es das „bedingte“ c — ist aber dann nicht
neben b beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche
lautet:
8) c = c ; b ɟ b̄̆
und erhalten wird, indem man den Wert 5) von a in 7) einträgt.
Ergebniss der Betrachtungen ist also:
Die Auflösung der Gleichung 1) x ; b = a lässt sich wann man
will zurückführen auf die einer Gleichung 6) x ; b = c ; b, in welcher
zwischen b und c die Relation 8) besteht.
Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie
leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang
es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all-
gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch
für das allgemeine Problem aufgrund der beiden ersten Inversionstheoreme
die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.
Ich will mich, durch eine Bemerkung von Peirce veranlasst, zuerst
über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.
Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form
x ; b = a ; b ansetzen mögen, wo a und b unabhängig beliebig gegeben zu
denken, vermögen wir an Partikularlösungen zunächst dreie anzugeben:
Erstens: x = a, zweitens: x = a ; b ɟ b̄̆. Diese beiden verstehen sich —
die letztere aus 3) — von selbst. Drittens aber — was ich früh durch
Zufall entdeckte: x = a · a ; b ; b̆.
Dies beruht auf dem Satze:
9) [FORMEL]
Beweis (des ersten). Es ist Li j = Σhai hΣk lai kbk lbh lbh j, was mit
k = h, l = j die Glieder Ri j = Σhai hbh j liefert, sodass Ri j ⋹ Li j also R ⋹ L
feststeht. Umgekehrt versteht sich L ⋹ R schon daraus, weil a(a ; b ; b̆) ⋹ a
sein muss, q. e. d.
Besässen wir nun die allgemeine Wurzel x des Problems x ; b = a ; b
in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso
alle möglichen Relative anzugeben, welche mit b relativ nachmultiplizirt a
liefern, und verfügten wir damit sofort über eine unbegrenzte Fülle von
Sätzen, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung
des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!
Ich vermag daher Herrn Peirce kaum beizustimmen, wenn er 9c
p. 193 sozusagen abfällig von den „inversen Operationen“ spricht. Die
allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als Knüpfungsergebniss
zwischen a und b (Funktion von a und b — neben u) aufgefasst, würde
uns eben die (eine) „inverse Operation“ zur relativen Multiplikation dar-
stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative
Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be-
zeichnend).
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 260. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/274>, abgerufen am 01.09.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.