Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Siebente Vorlesung.

Dieses — ich nenne es das „bedingte“ c — ist aber dann nicht
neben b beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche
lautet:
8) c = c ; b ɟ b̄̆
und erhalten wird, indem man den Wert 5) von a in 7) einträgt.

Ergebniss der Betrachtungen ist also:

Die Auflösung der Gleichung 1) x ; b = a lässt sich wann man
will zurückführen auf die einer Gleichung 6) x ; b = c ; b, in welcher
zwischen b und c die Relation 8) besteht.

Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie
leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang
es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all-
gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch
für das allgemeine Problem aufgrund der beiden ersten Inversionstheoreme
die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.

Ich will mich, durch eine Bemerkung von Peirce veranlasst, zuerst
über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.

Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form
x ; b = a ; b ansetzen mögen, wo a und b unabhängig beliebig gegeben zu
denken, vermögen wir an Partikularlösungen zunächst dreie anzugeben:
Erstens: x = a, zweitens: x = a ; b ɟ b̄̆. Diese beiden verstehen sich —
die letztere aus 3) — von selbst. Drittens aber — was ich früh durch
Zufall entdeckte: x = a · a ; b ; b̆.

Dies beruht auf dem Satze:
9) [Formel 1]

Beweis (des ersten). Es ist L_{i j} = Σ_ha_{i h}Σ_{k l}a_{i k}b_{k l}b_{h l}b_{h j}, was mit
k = h, l = j die Glieder R_{i j} = Σ_ha_{i h}b_{h j} liefert, sodass R_{i j} ⋹ L_{i j} also R ⋹ L
feststeht. Umgekehrt versteht sich L ⋹ R schon daraus, weil a(a ; b ; b̆) ⋹ a
sein muss, q. e. d.

Besässen wir nun die allgemeine Wurzel x des Problems x ; b = a ; b
in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso
alle möglichen Relative anzugeben, welche mit b relativ nachmultiplizirt a
liefern, und verfügten wir damit sofort über eine unbegrenzte Fülle von
Sätzen, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung
des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!

Ich vermag daher Herrn Peirce kaum beizustimmen, wenn er ^9c
p. 193 sozusagen abfällig von den „inversen Operationen“ spricht. Die
allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als Knüpfungsergebniss
zwischen a und b (Funktion von a und b — neben u) aufgefasst, würde
uns eben die (eine) „inverse Operation“ zur relativen Multiplikation dar-
stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative
Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be-
zeichnend).