Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Siebente Vorlesung.

dabei jedes Glied dieser Summe verschwinden. D. h. es ist zu zeigen, dass
es ein Wertepaar k, m gibt, für welches bei jedem l:
(a_{i l}b_{l k} + b̄_{h k})b_{h j}(ā_{i m} + b̄_{m j}) = 0
ist. Dies ist in der That bei k = j, m = l der Fall, indem:
(a_{i l}b_{l j} + b̄_{h j})b_{h j}(ā_{i l} + b̄_{l j}) = 0
identisch ist, q. e. d.

Die hiermit bewiesenen Formeln, welche entfernt an die bekannten
Schemata (a - b) + b = a und (a + b) - b = a der Arithmetik an-
klingen, statuiren: dass die beiden relativen Knüpfungen, als Vor- resp.
Nachknüpfungen, mit einem Relativ und dessen Strichkonverse in irgend
einer Ordnung hintereinander ausgeführt einander aufheben — aber nur
dann wenn der Operand selbst aus der zuletzt ausgeführten Knüpfung
hervorgegangen ist. Es sind hier also drei successive Knüpfungen er-
forderlich, damit zwei (successive) von ihnen sich kompensiren. Dies
ist leicht zu merken.

Schreibt man im ersten Schema 3) x für a, und setzt beiderseits den
Wert a für x ; b aus 1) ein, so gelangt man schnellstens zur Resultante 2).

Entdeckt habe ich die Sätze 3) indem ich umgekehrt verfuhr, näm-
lich den Wert von a aus 1) in die schon gerechtfertigte Resultante 2) ein-
trug. Dadurch ergeben sich sofort die Formeln 3) — nur (die obersten) in
den Buchstaben x und b statt a und b. Es können aber auch x und b
als völlig allgemeine Relative angesehen werden, denn wie immer sie auch
gegeben sein mögen, so kann man doch jedenfalls x ; b = a nennen. Dieses
Verfahren stellt sich also dar als ein vollgültiger, zugleich heuristischer
und jedenfalls — wenn er auch ein „mittelbarer“ zu nennen ist — als der
müheloseste Beweis der Formeln 3) — „Beweis 2“.

Um nunmehr die Resultante 2) zu erfüllen empfiehlt es sich, b will-
kürlich zu lassen und derselben durch geeignete Bestimmung von a zu
genügen. Dass durch Elimination von a keine Relation für b resul-
tiren kann, folgt daraus, dass bei jedem b der Wert a = 0 resp. 1 der
Forderung 2) genügt.

Die Bestimmung von a führt zu — oder beruht auf — dem Satze:
4)

[Tabelle]

wo die Subsumtionen auch als Gleichungen angesetzt werden dürften. Dieser
Satz gibt die allgemeine Wurzel x der Subsumtion oder Gleichung linker-
hand zwar richtig an, ausnahmsweise jedoch nicht so, dass auch die Ad-
ventivforderung erfüllt wäre.

Die Probe 1 bewährt sich hier sofort auf Grund von 3). Die Probe 2
jedoch ist zu leisten, indem man — nicht wie sonst immer u = x, sondern