Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 19. Die 4 dritten Inversionsprobleme.

werden, woraus im Hinblick auf das letzte Ergebniss die angegebene Re-
sultante a fortiori folgt. Dass sie, oder die mit ihr äquivalente Gleichung
2⁰) a = (a ɟ b̄̆) ; b
die volle Resultante ist, geht daraus hervor, dass, sobald sie erfüllt ist,
sich in Gestalt von x = a ɟ b̄̆ eine Wurzel der Gleichung x ; b = a an-
geben lässt.

Insbesondre involvirt diese Resultante 2) auch jene Unterresultante
a ⋹ 1 ; b des zweiten Inversionsproblemes, welche in der That aus
(a ɟ b̄̆) ; b ⋹ 1 ; b und 2) a fortiori folgt.

Es gibt noch ein eleganteres Verfahren, als das vorstehende, die Re-
sultante 2) aus 1) zu gewinnen.

Diesem liegt zugrunde ein fundamentaler

Satz. Allgemein gilt das Gespann von Formeln:
3) [Formel 1]

Beweis 1 der ersten (direkt). Es ist zu zeigen, dass L_{i j} = R_{i j}, d. h.
Σ_hΠ_k(Σ_la_{i l}b_{l k} + b̄_{h k})b_{h j} = Σ_ha_{i h}b_{h j}
für jedes i j sein muss. Wir zeigen zuerst, dass R_{i j} ⋹ L_{i j}, hernach das
Umgekehrte.

Das Aggregat in der Klammer links enthält (bei l = h) jedenfalls
auch den Term:
a_{i h}b_{h k} + b̄_{h k} = a_{i h} + b̄_{h k},
daher kann man den Term a_{i h} vorziehend (wenn man will unter tauto-
logischer Wiederholung desselben) schreiben:
L_{i j} = Σ_hΠ_k(a_{i h} + etc.)b_{h j} = Σ_h(a_{i h} + Π_k · etc.)b_{h j}
was augenscheinlich als Summanden auch die rechte Seite R_{i j} einschliesst.

[NB. das „etc.“ hätte rigoros den Ausdruck:
Σ_l0'_{l h}a_{i l}b_{l k} + b̄_{h k},
worin jedoch wegen Zulässigkeit von Tautologien der Faktor 0'_{l h} auch
unterdrückbar.]

Für das Umgekehrte oder L_{i j} ⋹ R_{i j} ist etwa zu zeigen, dass L_{i j}R̄_{i j} = 0, d. h.
Σ_hΠ_kΣ_l(a_{i l}b_{l k} + b̄_{h k})b_{h j}Π_m(ā_{i m} + b̄_{m j}) = 0
sein muss. Hierin kann man das Zeichen Π_m auch bis dicht vor das Σ_l
nach links vorschieben — vergl. 3) S. 113.

[Auch könnten wir dann m mit k identifizirend die beiden Produkt-
zeichen in ein einziges Π_k zusammenziehen; doch ist dies hier nicht vor-
teilhaft.] Alsdann ist zu zeigen, dass für irgendwie gegebene i, j, h min-
destens ein Faktor unsres als allgemeines Glied der Σ_h auftretenden Doppel-
produktes gleich 0 wird, und da jeder solche Faktor eine Σ_l ist, so muss

Schröder, Algebra der Relative. 17