Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Siebente Vorlesung.

Ich habe zuerst die Formeln 10) durch eine sehr viel mühsamere
Untersuchung gewonnen, indem ich der Koeffizientenforderung (der ersten
Aufgabe) mittelst arbiträrer Parameter u_{i j} „symmetrisch allgemein“ zu ge-
nügen suchte. Von dieser Forderung:
a_{i j}Σ_hb_{h j}⋹Σ_hx_{i h}b_{h j}
muss ja in der That der allgemeine Koeffizient von x:
x_{i h} = u_{i h} + Σ_kΠ_la_{i k}(ū_{i l} + b̄_{l k})b_{h k}
die „symmetrisch allgemeine Lösung“ nach dem unbegrenzten System der
Unbekannten x_{i h} vorstellen.

Da es jedoch auch bei diesem Verfahren nicht ganz ohne glückliches
Raten abging, will ich den Leser mit dieser meiner Herleitung verschonen
und mich mit dem Verweise auf die oben angedeutete Herleitung begnügen.

Zum Schlusse seien noch ein paar Partikularlösungen und Unter-
fälle des Problems hervorgehoben.

Als Partikularlösungen, von immerhin noch grosser Allgemeinheit,
unsrer zweiten Inversionsprobleme 4) verdienen besondre Beachtung:
19) [Formel 1]

Namentlich also (für w = 0 resp. 1) genügt x = a ; b̆ immer der
ersten Aufgabe 4) sofern sie lösbar, also der Forderung a ⋹ x ; b.

In der That gilt der Satz:
20) [Formel 2]

Beweis des ersten: L_{i j} = a_{i j}Σ_hb_{h j}, R_{i j} = Σ_{h k}a_{i h}b_{k h}b_{k j}. Letz-
tere Summe enthält (für h = j) die Terme a_{i j}Σ_kb_{k j} = L_{i j}, q. e. d.

Dass hernach auch der allgemeinere Ausdruck 19) der Forderung
unsres Problems genügt, folgt leicht a fortiori.

Schreibt man in 20) — es ist immer zunächst die erste Formel
des Gespannes gemeint — a ; b für a, so erhält man wegen a ; b ⋹ 1 ; b,
mithin auch a ; b · 1 ; b = a ; b, das Formelgespann:
21) [Formel 3]

Und nimmt man in 20) a = 1 an, so kommt: 1 ; b ⋹ 1 ; b̆ ; b. Da
aber wegen 1 ; b̆ ⋹ 1 die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so muss
vorstehende die Kraft einer Gleichung haben und gewinnen wir, a für b
sagend, den Satz: