-- worin obendrein links vom Mittelstriche dem Subjekte rechterhand auch ein relativer Faktor 1 vor- oder nachgesetzt werden dürfte, rechts vom Mittelstriche dem Prädikate rechterhand ein relativer Summand 0. [Darnach konnten die Lösungen 10) auch aufgrund des Satzes 1) des § 13 entdeckt werden.]
Beweis. Gilt a(xn j bn) ; bx, so folgt nach dem ersten Inversions- theoreme: a(xn j bn) x j bn, a(xn j bn) (x j bn)(xn j bn) = xxn j bn = 0 j bn, also a · 1 ; b · (xn j bn) 0, a · 1 ; bx ; b, q. e. d.
Ist nun z. B. v ; 1 x, so folgt ebenso nach dem citirten Satze: vx j 0 x, also vx, etc. wie soeben.
Die oben bei "Probe 2" gemachte Überlegung, aus welcher her- vorgeht, dass ein der ersten Aufgabe genügendes x jedenfalls (für u = x) in der Form existirt: x = u + a(un j bn) ; b und der Gedanke nahe liegt, mit diesem Ausdrucke nun auch für ein beliebiges u die Probe 1 zu machen, welche alsdann, wie oben gezeigt, die Vermutung bestätigen wird, dass vorstehender Ausdruck die all- gemeine Wurzel vorstelle -- diese Überlegung kann man wol als die ungezwungenste Herleitung unsrer Resultate 10) hinstellen.
Allerdings kommt dabei etwas ein glückliches Erraten zur Wirkung, und erscheint es sonderbar, dass folgendes Räsonnement, welches man mit gleichem Recht anstellen könnte, ja was noch näher liegt, nicht zum Ziele führt.
Es ist ja auch schon für die Wurzel x: a · 1 ; b · (xn j bn) = 0.
Also muss mit x = u + a · 1 ; b · (un j bn) gewiss die Probe 2 stimmen: auch dieser Ausdruck umfasst alle Wurzeln und gibt uns für u = x jede Wurzel x richtig wieder. Aber es stimmt die Probe 1 nicht. Der Ausdruck gibt nicht ausschliesslich Wurzeln. In der That ist im Allgemeinen nicht a · 1 ; bu ; b + a(1 ; b)(un j bn) ; b, wie schon die Annahme u = 0 erkennen lässt, wo a · 1 ; ba(1 ; b) ; b gelten müsste, was für b = 0' das offenbar unrichtige aa ; 0' ergäbe.
§ 18. Zweite Inversionstheoreme.
18)
[Tabelle]
— worin obendrein links vom Mittelstriche dem Subjekte rechterhand auch ein relativer Faktor 1 vor- oder nachgesetzt werden dürfte, rechts vom Mittelstriche dem Prädikate rechterhand ein relativer Summand 0. [Darnach konnten die Lösungen 10) auch aufgrund des Satzes 1) des § 13 entdeckt werden.]
Beweis. Gilt a(x̄ ɟ b̄) ; b̆ ⋹ x, so folgt nach dem ersten Inversions- theoreme: a(x̄ ɟ b̄) ⋹ x ɟ b̄, a(x̄ ɟ b̄) ⋹ (x ɟ b̄)(x̄ ɟ b̄) = xx̄ ɟ b̄ = 0 ɟ b̄, also a · 1 ; b · (x̄ ɟ b̄) ⋹ 0, a · 1 ; b ⋹ x ; b, q. e. d.
Ist nun z. B. v ; 1 ⋹ x, so folgt ebenso nach dem citirten Satze: v ⋹ x ɟ 0 ⋹ x, also v ⋹ x, etc. wie soeben.
Die oben bei „Probe 2“ gemachte Überlegung, aus welcher her- vorgeht, dass ein der ersten Aufgabe genügendes x jedenfalls (für u = x) in der Form existirt: x = u + a(ū ɟ b̄) ; b̆ und der Gedanke nahe liegt, mit diesem Ausdrucke nun auch für ein beliebiges u die Probe 1 zu machen, welche alsdann, wie oben gezeigt, die Vermutung bestätigen wird, dass vorstehender Ausdruck die all- gemeine Wurzel vorstelle — diese Überlegung kann man wol als die ungezwungenste Herleitung unsrer Resultate 10) hinstellen.
Allerdings kommt dabei etwas ein glückliches Erraten zur Wirkung, und erscheint es sonderbar, dass folgendes Räsonnement, welches man mit gleichem Recht anstellen könnte, ja was noch näher liegt, nicht zum Ziele führt.
Es ist ja auch schon für die Wurzel x: a · 1 ; b · (x̄ ɟ b̄) = 0.
Also muss mit x = u + a · 1 ; b · (ū ɟ b̄) gewiss die Probe 2 stimmen: auch dieser Ausdruck umfasst alle Wurzeln und gibt uns für u = x jede Wurzel x richtig wieder. Aber es stimmt die Probe 1 nicht. Der Ausdruck gibt nicht ausschliesslich Wurzeln. In der That ist im Allgemeinen nicht a · 1 ; b ⋹ u ; b + a(1 ; b)(ū ɟ b̄) ; b, wie schon die Annahme u = 0 erkennen lässt, wo a · 1 ; b ⋹ a(1 ; b) ; b gelten müsste, was für b = 0' das offenbar unrichtige a ⋹ a ; 0' ergäbe.
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§ 18. Zweite Inversionstheoreme.
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— worin obendrein links vom Mittelstriche dem Subjekte rechterhand
auch ein relativer Faktor 1 vor- oder nachgesetzt werden dürfte, rechts
vom Mittelstriche dem Prädikate rechterhand ein relativer Summand 0.
[Darnach konnten die Lösungen 10) auch aufgrund des Satzes 1) des
§ 13 entdeckt werden.]
Beweis. Gilt a(x̄ ɟ b̄) ; b̆ ⋹ x, so folgt nach dem ersten Inversions-
theoreme:
a(x̄ ɟ b̄) ⋹ x ɟ b̄, a(x̄ ɟ b̄) ⋹ (x ɟ b̄)(x̄ ɟ b̄) = xx̄ ɟ b̄ = 0 ɟ b̄,
also a · 1 ; b · (x̄ ɟ b̄) ⋹ 0, a · 1 ; b ⋹ x ; b, q. e. d.
Ist nun z. B. v ; 1 ⋹ x, so folgt ebenso nach dem citirten Satze:
v ⋹ x ɟ 0 ⋹ x, also v ⋹ x, etc. wie soeben.
Die oben bei „Probe 2“ gemachte Überlegung, aus welcher her-
vorgeht, dass ein der ersten Aufgabe genügendes x jedenfalls (für
u = x) in der Form existirt:
x = u + a(ū ɟ b̄) ; b̆
und der Gedanke nahe liegt, mit diesem Ausdrucke nun auch für ein
beliebiges u die Probe 1 zu machen, welche alsdann, wie oben gezeigt,
die Vermutung bestätigen wird, dass vorstehender Ausdruck die all-
gemeine Wurzel vorstelle — diese Überlegung kann man wol als die
ungezwungenste Herleitung unsrer Resultate 10) hinstellen.
Allerdings kommt dabei etwas ein glückliches Erraten zur Wirkung,
und erscheint es sonderbar, dass folgendes Räsonnement, welches man mit
gleichem Recht anstellen könnte, ja was noch näher liegt, nicht zum Ziele
führt.
Es ist ja auch schon für die Wurzel x:
a · 1 ; b · (x̄ ɟ b̄) = 0.
Also muss mit
x = u + a · 1 ; b · (ū ɟ b̄)
gewiss die Probe 2 stimmen: auch dieser Ausdruck umfasst alle Wurzeln
und gibt uns für u = x jede Wurzel x richtig wieder. Aber es stimmt
die Probe 1 nicht. Der Ausdruck gibt nicht ausschliesslich Wurzeln. In
der That ist im Allgemeinen nicht
a · 1 ; b ⋹ u ; b + a(1 ; b)(ū ɟ b̄) ; b,
wie schon die Annahme u = 0 erkennen lässt, wo a · 1 ; b ⋹ a(1 ; b) ; b
gelten müsste, was für b = 0' das offenbar unrichtige a ⋹ a ; 0' ergäbe.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 253. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/267>, abgerufen am 10.05.2024.
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