Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Siebente Vorlesung.

Sobald man aber das unbestimmte oder willkürliche u so annimmt, dass
es für x eingesetzt der Aufgabe nicht selbst schon genügt, liefern zwar
die entsprechenden Formeln der vier Chiffren stets unfehlbar richtige aber
im Allgemeinen von einander verschiedene Wurzeln.

Dies lässt sich schon durch einfache Beispiele erhärten, wie etwa für
das erste Problem durch die Annahmen:
[Formel 1] .

Die Formen sind daher, obwol sie alle die Qualifikation als eine
„allgemeine Lösung“ der Aufgabe verdienen, nicht blos formell oder äusser-
lich, sondern wesentlich verschieden zu nennen.

Ich habe mich nunmehr über Herleitung und Beweis der Formeln
8), 9), 10) auszusprechen.

Der Beweis der ersten Formel 10) zerfällt in zwei „Proben“.

Probe 1 läuft daraus hinaus, dass wir den angeblichen Wurzelwert
von x in die aufzulösende Proposition einsetzen und uns überzeugen, dass
dieselbe durch ihn allgemein, für ein beliebiges u, erfüllt wird. Zu dem
Ende ist also zu zeigen, dass:
a · 1 ; b ⋹ u ; b + a(ū ɟ b̄) ; b̆ ; b,
d. h. in den Koeffizienten, dass L_{j j} ⋹ R_{i j}, nämlich
a_{i j}Σ_hb_{h j}⋹Σ_lu_{i l}b_{l j} + Σ_{h k}Π_la_{i k}(ū_{i l} + b̄_{l k})b_{h k}b_{h j}
allgemein sein muss. Letzteres gelingt durch den Nachweis, dass die linke
Seite selbst als Glied der Summe rechterhand figurirt.

Hebt man in der That aus der Σ_{h k} bei R_{i j} den für k = j sich er-
gebenden Term hervor und fügt denselben tautologisch hinzu, so entsteht:
R_{i j} = Σ_lu_{i l}b_{l j} + a_{i j}Π_l(ū_{i l} + b̄_{l j})Σ_hb_{h j} + Σ_{h k}Π_l · etc.
= Σ_lu_{i l}b_{l j} + a_{i j}Σ_hb_{h j} + Σ_{h k}Π_l · etc. = L_{i j} + etc.
weil beim mittleren Terme der Faktor Π_l(ū_{i l} + b̄_{l j}) als Negation des vor-
hergehenden Termes unterdrückbar war. Somit ist in der That L_{i j} ⋹ R_{i j},
q. e. d.

Für die Formeln [7)], 8) und 9) braucht nun die „Probe 1“ nicht
mehr gemacht zu werden. Dass sie auch für diese stimmt, folgt nämlich
a fortiori aus dem soeben Erwiesenen.

Denn nennen wir für die erste Aufgabe des Gespannes 10) den zweiten
Term a(ū ɟ b̄) ; b̆ der Wurzel x zur Abkürzung v, so wurde soeben erkannt,
dass a · 1 ; b ⋹ u ; b + v ; b.

Bei 8) ist aber x = u + v ; 1 und bei 9) x = u + 1 ; v [bei 7) x = u + 1 ; v ; 1].
Wegen v ⋹ v ; 1 ist gewiss u ; b + v ; b ⋹ u ; b + v ; 1 ; b, und falls hiervon
der linken Seite das a · 1 ; b als eingeordnet nachgewiesen ist, so muss es
um so mehr auch der rechten Seite eingeordnet sein. Ähnlich ist aber
auch v ⋹ 1 ; v, u. s. w. — q. e. d.

Natürlich lassen sich auch diese Einordnungen direkt in den Koeffi-