des § 12 die rigorose Lösung zunächst in der Form: x = u{0 j 1 ; un ; 1 j 0}, was sich aber nach der Bemerkung am Schlusse des § 10 zu x = u · 1 ; un ; 1, d. h. zu 1) selber vereinfacht. Also:
Für die beiden Aufgaben 1, 2 ist die gefundene Lösung 1) zugleich rigorose Lösung. Hier liegt ein Grenzfall vor, wo die rigorose Lösung ausnahmsweise auch das Epitheton einer befriedigenden allgemeinen Lösung verdient und es keinen Sinn hätte nach einer andern zu fahnden -- wie man leicht sieht aus dem Grunde, weil es hier eben nur ein Relativ (1 resp. 0) gibt, welches der Forderung der Aufgabe nicht genügt.
Zu Aufgabe 3, wo (x 1)(x 0) sein soll, können wir a nach Belieben = 1' oder = 0' nehmen. Wir erhalten, indem wir das F(u) dem F(x) links vom Mittelstriche nachgebildet nehmen, als rigorose Lösung gemäss Schema 12) des § 12 nach leichtester Reduktion: 7)
[Formel 1]
, worin sich auch 0' für 1' setzen lässt.
Auch mit dieser Form 7) der rigorosen Lösung kommt die -- formell nur etwas allgemeinere -- Lösungsform 4) zur Deckung, falls man in letztrer, 1' beibehaltend, auch 0' durch 1' ersetzt. Mit Rücksicht auf 3) des § 11 kann man nämlich bemerken, dass sich wegen u · 1 ; u ; 1 = u auch in 7) der letzte Term noch in u · 1 ; un ; 1 vereinfachen lässt, sodass wir als wol konzisesten Ausdruck unsrer Lösung haben: 8)
[Formel 2]
.
Zu Aufgabe 4, (x = 0) + (x = 1), haben wir x = a = 0 als die eine, und x = a = 1 als die andre verfügbare Partikularlösung, und erhalten demnach gemäss Schema 16) resp. 17) des § 12 die beiden ebenbürtigen Formen der rigorosen Lösung: 9)
[Formel 3]
, welche ebensogute Dienste als wie die Lösungen 6) zu leisten ver- mögen und als die Lösungen "katexochen" der Aufgabe zu bezeichnen wären.
Auch in diesen Fällen tritt das "Unbefriedigende", welches sonst den rigorosen Lösungen anhaftet, noch nicht zutage.
Als eine interessante Gruppe von 12 Aufgaben schliesst sich den vorhin gelösten das Problem an: das allgemeinste Relativ x zu be- stimmen, für welches ein gegebenes von den sechs ausgezeichneten Relativen verschwindet, resp. den Wert 1 annimmt.
Fünfte Vorlesung.
des § 12 die rigorose Lösung zunächst in der Form: x = u{0 ɟ 1 ; ū ; 1 ɟ 0}, was sich aber nach der Bemerkung am Schlusse des § 10 zu x = u · 1 ; ū ; 1, d. h. zu 1) selber vereinfacht. Also:
Für die beiden Aufgaben 1, 2 ist die gefundene Lösung 1) zugleich rigorose Lösung. Hier liegt ein Grenzfall vor, wo die rigorose Lösung ausnahmsweise auch das Epitheton einer befriedigenden allgemeinen Lösung verdient und es keinen Sinn hätte nach einer andern zu fahnden — wie man leicht sieht aus dem Grunde, weil es hier eben nur ein Relativ (1 resp. 0) gibt, welches der Forderung der Aufgabe nicht genügt.
Zu Aufgabe 3, wo (x ≠ 1)(x ≠ 0) sein soll, können wir a nach Belieben = 1' oder = 0' nehmen. Wir erhalten, indem wir das F(u) dem F(x) links vom Mittelstriche nachgebildet nehmen, als rigorose Lösung gemäss Schema 12) des § 12 nach leichtester Reduktion: 7)
[Formel 1]
, worin sich auch 0' für 1' setzen lässt.
Auch mit dieser Form 7) der rigorosen Lösung kommt die — formell nur etwas allgemeinere — Lösungsform 4) zur Deckung, falls man in letztrer, 1' beibehaltend, auch 0' durch 1' ersetzt. Mit Rücksicht auf 3) des § 11 kann man nämlich bemerken, dass sich wegen u · 1 ; u ; 1 = u auch in 7) der letzte Term noch in u · 1 ; ū ; 1 vereinfachen lässt, sodass wir als wol konzisesten Ausdruck unsrer Lösung haben: 8)
[Formel 2]
.
Zu Aufgabe 4, (x = 0) + (x = 1), haben wir x = a = 0 als die eine, und x = a = 1 als die andre verfügbare Partikularlösung, und erhalten demnach gemäss Schema 16) resp. 17) des § 12 die beiden ebenbürtigen Formen der rigorosen Lösung: 9)
[Formel 3]
, welche ebensogute Dienste als wie die Lösungen 6) zu leisten ver- mögen und als die Lösungen „katexochen“ der Aufgabe zu bezeichnen wären.
Auch in diesen Fällen tritt das „Unbefriedigende“, welches sonst den rigorosen Lösungen anhaftet, noch nicht zutage.
Als eine interessante Gruppe von 12 Aufgaben schliesst sich den vorhin gelösten das Problem an: das allgemeinste Relativ x zu be- stimmen, für welches ein gegebenes von den sechs ausgezeichneten Relativen verschwindet, resp. den Wert 1 annimmt.
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[196/0210]
Fünfte Vorlesung.
des § 12 die rigorose Lösung zunächst in der Form: x = u{0 ɟ 1 ; ū ; 1 ɟ 0},
was sich aber nach der Bemerkung am Schlusse des § 10 zu x = u · 1 ; ū ; 1,
d. h. zu 1) selber vereinfacht. Also:
Für die beiden Aufgaben 1, 2 ist die gefundene Lösung 1) zugleich
rigorose Lösung. Hier liegt ein Grenzfall vor, wo die rigorose Lösung
ausnahmsweise auch das Epitheton einer befriedigenden allgemeinen
Lösung verdient und es keinen Sinn hätte nach einer andern zu fahnden
— wie man leicht sieht aus dem Grunde, weil es hier eben nur ein
Relativ (1 resp. 0) gibt, welches der Forderung der Aufgabe nicht genügt.
Zu Aufgabe 3, wo (x ≠ 1)(x ≠ 0) sein soll, können wir a nach
Belieben = 1' oder = 0' nehmen. Wir erhalten, indem wir das F(u)
dem F(x) links vom Mittelstriche nachgebildet nehmen, als rigorose
Lösung gemäss Schema 12) des § 12 nach leichtester Reduktion:
7) [FORMEL],
worin sich auch 0' für 1' setzen lässt.
Auch mit dieser Form 7) der rigorosen Lösung kommt die —
formell nur etwas allgemeinere — Lösungsform 4) zur Deckung, falls
man in letztrer, 1' beibehaltend, auch 0' durch 1' ersetzt. Mit Rücksicht
auf 3) des § 11 kann man nämlich bemerken, dass sich wegen u · 1 ; u ; 1 = u
auch in 7) der letzte Term noch in u · 1 ; ū ; 1 vereinfachen lässt, sodass
wir als wol konzisesten Ausdruck unsrer Lösung haben:
8) [FORMEL].
Zu Aufgabe 4, (x = 0) + (x = 1), haben wir x = a = 0 als die
eine, und x = a = 1 als die andre verfügbare Partikularlösung, und
erhalten demnach gemäss Schema 16) resp. 17) des § 12 die beiden
ebenbürtigen Formen der rigorosen Lösung:
9) [FORMEL],
welche ebensogute Dienste als wie die Lösungen 6) zu leisten ver-
mögen und als die Lösungen „katexochen“ der Aufgabe zu bezeichnen
wären.
Auch in diesen Fällen tritt das „Unbefriedigende“, welches sonst
den rigorosen Lösungen anhaftet, noch nicht zutage.
Als eine interessante Gruppe von 12 Aufgaben schliesst sich den
vorhin gelösten das Problem an: das allgemeinste Relativ x zu be-
stimmen, für welches ein gegebenes von den sechs ausgezeichneten
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 196. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/210>, abgerufen am 04.05.2024.
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