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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Fünfte Vorlesung.
nach Bd. 1, S. 699 unmöglich (in ebensoviel Parametern, wie Unbekannten,
zum mindesten, wenn nicht überhaupt).

Für auf den Wertbereich 0, 1 beschränkte Koeffizienten (resp. Aus-
sagen) xi j kann sie gleichwol möglich sein und ist sie möglich wenigstens
für jede Quadratzahl von Unbekannten. Denn sie wird für solche durch
die nachher gegebene allgemeine Lösung unsrer Aufgabe 2 implizite ge-
leistet.

Die Lösung gelingt, wenn wir auch noch die beiden relativen Moduln
0' und 1' herbeiziehen, welche beide ja 0 und 1 sind.

Beachtet man nun, dass das Relativ

[Tabelle]
,
so sieht man dass der Ausdruck
[Tabelle]
sein muss, und konstruirt man leicht in Gestalt von
4) [Formel 1]
das gesuchte allgemeinste Relativ, welches weder 0 noch 1 ist.

Wir haben nämlich in der That
f(1) = 1' 0 und 1, desgleichen f(0) = 0' 0 und 1,
in jedem andern Falle aber, d. h. in jedem Falle wo u ungleich 0 und 1
ist, f(u) = u selbst. Der Ausdruck f(u) umfasst also von vornherein jedes
irgendwie von 0 und 1 verschieden gegebene Relativ, und nur solche
Relative, q. e. d.

Für f(u) könnte auch der dazu duale Ausdruck genommen werden.
Schon die blosse Negation des obigen Ausdruckes 4) von f(u) würde
(gleich x gesetzt) zwar dem Begriff der allgemeinen Lösung von 2) ent-
sprechen, aber nicht die Adventivforderung erfüllen. Ausserdem leuchtet
im Hinblick auf die Begründung ein, dass die Faktoren 1' und 0' in 4)
auch durch irgendwelche spezifizirte, nur eben von 0 und 1 verschieden
gewählte Relative ersetzt werden dürften; insbesondre kann man dieselben
auch vertauschen, oder auch: diese beiden relativen Moduln durch blos
einen von ihnen vertreten lassen -- z. B. 0' durch 1' ersetzen -- immer
wird man so zwar wesentlich verschiedene aber gleichberechtigte und
gleichermassen brauchbare Formen der allgemeinen Lösung erhalten, deren
Vielgestaltigkeit ersichtlich ist.


Fünfte Vorlesung.
nach Bd. 1, S. 699 unmöglich (in ebensoviel Parametern, wie Unbekannten,
zum mindesten, wenn nicht überhaupt).

Für auf den Wertbereich 0, 1 beschränkte Koeffizienten (resp. Aus-
sagen) xi j kann sie gleichwol möglich sein und ist sie möglich wenigstens
für jede Quadratzahl von Unbekannten. Denn sie wird für solche durch
die nachher gegebene allgemeine Lösung unsrer Aufgabe 2 implizite ge-
leistet.

Die Lösung gelingt, wenn wir auch noch die beiden relativen Moduln
0' und 1' herbeiziehen, welche beide ja ≠ 0 und ≠ 1 sind.

Beachtet man nun, dass das Relativ

[Tabelle]
,
so sieht man dass der Ausdruck
[Tabelle]
sein muss, und konstruirt man leicht in Gestalt von
4) [Formel 1]
das gesuchte allgemeinste Relativ, welches weder 0 noch 1 ist.

Wir haben nämlich in der That
f(1) = 1' ≠ 0 und 1, desgleichen f(0) = 0' ≠ 0 und 1,
in jedem andern Falle aber, d. h. in jedem Falle wo u ungleich 0 und 1
ist, f(u) = u selbst. Der Ausdruck f(u) umfasst also von vornherein jedes
irgendwie von 0 und 1 verschieden gegebene Relativ, und nur solche
Relative, q. e. d.

Für f(u) könnte auch der dazu duale Ausdruck genommen werden.
Schon die blosse Negation des obigen Ausdruckes 4) von f(u) würde
(gleich x gesetzt) zwar dem Begriff der allgemeinen Lösung von 2) ent-
sprechen, aber nicht die Adventivforderung erfüllen. Ausserdem leuchtet
im Hinblick auf die Begründung ein, dass die Faktoren 1' und 0' in 4)
auch durch irgendwelche spezifizirte, nur eben von 0 und 1 verschieden
gewählte Relative ersetzt werden dürften; insbesondre kann man dieselben
auch vertauschen, oder auch: diese beiden relativen Moduln durch blos
einen von ihnen vertreten lassen — z. B. 0' durch 1' ersetzen — immer
wird man so zwar wesentlich verschiedene aber gleichberechtigte und
gleichermassen brauchbare Formen der allgemeinen Lösung erhalten, deren
Vielgestaltigkeit ersichtlich ist.


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[194/0208] Fünfte Vorlesung. nach Bd. 1, S. 699 unmöglich (in ebensoviel Parametern, wie Unbekannten, zum mindesten, wenn nicht überhaupt). Für auf den Wertbereich 0, 1 beschränkte Koeffizienten (resp. Aus- sagen) xi j kann sie gleichwol möglich sein und ist sie möglich wenigstens für jede Quadratzahl von Unbekannten. Denn sie wird für solche durch die nachher gegebene allgemeine Lösung unsrer Aufgabe 2 implizite ge- leistet. Die Lösung gelingt, wenn wir auch noch die beiden relativen Moduln 0' und 1' herbeiziehen, welche beide ja ≠ 0 und ≠ 1 sind. Beachtet man nun, dass das Relativ , so sieht man dass der Ausdruck sein muss, und konstruirt man leicht in Gestalt von 4) [FORMEL] das gesuchte allgemeinste Relativ, welches weder 0 noch 1 ist. Wir haben nämlich in der That f(1) = 1' ≠ 0 und 1, desgleichen f(0) = 0' ≠ 0 und 1, in jedem andern Falle aber, d. h. in jedem Falle wo u ungleich 0 und 1 ist, f(u) = u selbst. Der Ausdruck f(u) umfasst also von vornherein jedes irgendwie von 0 und 1 verschieden gegebene Relativ, und nur solche Relative, q. e. d. Für f(u) könnte auch der dazu duale Ausdruck genommen werden. Schon die blosse Negation des obigen Ausdruckes 4) von f(u) würde (gleich x gesetzt) zwar dem Begriff der allgemeinen Lösung von 2) ent- sprechen, aber nicht die Adventivforderung erfüllen. Ausserdem leuchtet im Hinblick auf die Begründung ein, dass die Faktoren 1' und 0' in 4) auch durch irgendwelche spezifizirte, nur eben von 0 und 1 verschieden gewählte Relative ersetzt werden dürften; insbesondre kann man dieselben auch vertauschen, oder auch: diese beiden relativen Moduln durch blos einen von ihnen vertreten lassen — z. B. 0' durch 1' ersetzen — immer wird man so zwar wesentlich verschiedene aber gleichberechtigte und gleichermassen brauchbare Formen der allgemeinen Lösung erhalten, deren Vielgestaltigkeit ersichtlich ist.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 194. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/208>, abgerufen am 27.11.2024.