Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 14. Beispiele einfachster Art.

Aufgabe 3. Die Proposition aufzulösen:
2) (x ≠ 1)(x ≠ 0),
d. h. den Ausdruck für das allgemeinste Relativ zu finden, welches eo
ipso weder null noch eins ist (ausserdem aber jedes Wertes fähig).

Auflösung. Auf 0 oder 1 rechterhand gebracht stellt sich unsre
Proposition bezüglich dar als die vereinigte Gleichung:

0 ɟ x̄ ɟ 0 + 0 ɟ x ɟ 0 = 0

1 ; x̄ ; 1 · 1 ; x ; 1 = 1

und fordert für die Koeffizienten, dass
3)

Π_h kx_h k + Π_h kx̄_h k = 0

Σ_h kx_h k · Σ_h kx̄_h k = 1

gemacht werde.

[Nebenbei gesagt könnte die vereinigte Gleichung auch in die ein-
fachere Gestalt zusammengezogen werden:

0 ɟ x̄ ɟ 0 ɟ x ɟ 0 = 0

1 ; x̄ ; 1 ; x ; 1 = 1

oder auch x und x̄ vertauscht. Denn letztere Relation gibt für die Koeffi-
zienten die Forderung:

Π_h k l m(x̄_h k + x_l m) = Π_h kx̄_h k + Π_l mx_l m = 0

Σ_h k l mx̄_h kx_l m = Σ_h kx̄_h k · Σ_l mx_l m = 1,

in deren Übereinstimmung mit der obigen der „Beweis ad hoc“ für die
behauptete Vereinfachungsmöglichkeit zu erblicken ist. Man könnte dafür
auch das allgemeinere Schema 5) des § 11 anziehen.]

Die Forderung — links z. B. — zerfällt nun in die beiden: Π_{i j}x_{i j} = 0
und Π_{i j}x̄_{i j} = 0, deren jede für sich allein wir nach den Schemata in der
vorigen Aufgabe symmetrisch allgemein aufzulösen vermögen. Versucht
man jedoch die arbiträren Parameter u_{h k} der einen Lösung so zu bestimmen,
dass sie auch der andern Forderung genügen, so gelangt man allemal für
diese Unbekannten u_{h k} zu Gleichungen von genau derselben Form wie die
von den x_{h k} zu erfüllen gewesenen Gleichungen 3); man bewegt sich also
in einem Zirkel.

Die Lösung des zusammengesetzten Problemes zeigt sich hier durch
die vorgängige Lösung seiner (beiden) Teilprobleme in keiner Weise ge-
fördert — eine Wahrnehmung, die in unsrer Disziplin sehr häufig (obzwar
nicht immer) zu machen ist! Jene dürfte dann am besten a priori, ganz
unabhängig von den Teilproblemen, in Angriff genommen werden.

Es kommt wesentlich darauf an, die Gleichung links in 3) nach den
unbekannten Koeffizienten x_{h k} „symmetrisch allgemein“ aufzulösen. Die
Forderung der Symmetrie ist darin begründet oder läuft darauf hinaus,
dass eben ein einheitlicher Ausdruck für jedes unbekannte x_{i j} gefunden
werden muss, der sich dann allgemein als Koeffizient des unbekannten Re-
lativs x darstellen lasse; m. a. W. es muss der allgemeine Wurzelwert
für x_{i j} aus dem für x_{h k} durch Vertauschung von h mit i und k mit j
hervorgehn.

Für Klassen x_{i j} war zwar schon die symmetrisch allgemeine Lösung
der Gleichung
x₁x₂x₃ + x̄₁x̄₂x̄₃ = 0

Schröder, Algebra der Relative. 13