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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 12. Eliminationsproblem als Umkehrung des Auflösungsproblems.
ihrer allgemeinen Lösung x = f(u) fortzuschreiten; bei diesem aber
wird nun verlangt den umgekehrten Weg zurückzulegen.

Ist mit 3) die Lösung von 1) gefunden, so stellt uns auch die
-- aus 8) a fortiori folgende -- Subsumtion:
18) {f(u) = x} {F(x) = 0}
die Lösung vor des Problemes der Elimination von u aus der link-
seitigen Gleichung, nämlich aus 2); und zwar ist die rechte Seite, d. i.
die Gleichung 1) -- wegen 9) -- auch die volle Resultante.

Dass beim Auflösungsprobleme -- wie bereits erhärtet -- so viele
wesentlich verschiedene Formen der allgemeinen Wurzel existiren, wird
uns nun nicht mehr Wunder nehmen, denn dieser Umstand stellt sich
jetzt dar als ein Ausfluss der von vornherein plausibeln Thatsache,
dass sehr verschiedene Ausgangsgleichungen doch die nämliche Resul-
tante liefern können, wie bekanntlich zuweilen ganz verschiedene Prä-
missen doch dieselbe Konklusion liefern.

Die letztere zu gewinnen ist das Ziel des Eliminationsproblemes. Und
umgekehrt könnte man die Ermittelung aller allgemeinen Lösungen zu
einer gegebenen Gleichung 1) [als der Gesamtaussage eines Propositionen-
systems] hinstellen als die Beantwortung der Frage: welche Prämissen eine
gegebene Konklusion liefern ("what premises yield a given conclusion")?

Dass die Beantwortung dieser letztern Frage kaum minder wichtig sei
als die Lösung der erstern Aufgabe, also die Beantwortung der Frage,
welche Konklusion aus gegebnen Prämissen folgt, dies hat schon Peirce8
p. 196 betont -- ohne indessen dem Auflösungsprobleme als solchem irgend
eine Behandlung zuteil werden zu lassen. --

Wir hatten bei den Betrachtungen dieses Paragraphen eingangs
vorausgesetzt (was theoretisch immer hinzubringen gewesen), dass die
aufzulösende Gleichung F(x) = 0, wenn überhaupt, so bedingungslos
auflösbar sei, mithin durch Elimination von x keine "Resultante" lie-
fere. Praktisch liegt zumeist der gegenteilige Fall vor. Und wenn
wir nun für jenen Fall das allgemeine Schema gefunden haben, nach
welchem die Lösung immer anzusetzen ist, so müssen wir doch auch
diesen Fall noch erledigen. Wir müssen die Aufmerksamkeit des
Lesers noch für die Frage in Anspruch nehmen: wie unser Schema
dann zu modifiziren sein wird, wenn die aufzulösende Gleichung 1)
eine (von x freie) Resultante R = 0 liefert?

Unter R haben wir uns dabei irgend eine Funktion ph(b, c, ..., y, z, ...)
von als gegeben zu denkenden Parametern, wie Polynomkoeffizienten
z. B., eventuell auch von noch andern Unbekannten, vorzustellen.


§ 12. Eliminationsproblem als Umkehrung des Auflösungsproblems.
ihrer allgemeinen Lösung x = f(u) fortzuschreiten; bei diesem aber
wird nun verlangt den umgekehrten Weg zurückzulegen.

Ist mit 3) die Lösung von 1) gefunden, so stellt uns auch die
— aus 8) a fortiori folgende — Subsumtion:
18) {f(u) = x} ⋹ {F(x) = 0}
die Lösung vor des Problemes der Elimination von u aus der link-
seitigen Gleichung, nämlich aus 2); und zwar ist die rechte Seite, d. i.
die Gleichung 1) — wegen 9) — auch die volle Resultante.

Dass beim Auflösungsprobleme — wie bereits erhärtet — so viele
wesentlich verschiedene Formen der allgemeinen Wurzel existiren, wird
uns nun nicht mehr Wunder nehmen, denn dieser Umstand stellt sich
jetzt dar als ein Ausfluss der von vornherein plausibeln Thatsache,
dass sehr verschiedene Ausgangsgleichungen doch die nämliche Resul-
tante liefern können, wie bekanntlich zuweilen ganz verschiedene Prä-
missen doch dieselbe Konklusion liefern.

Die letztere zu gewinnen ist das Ziel des Eliminationsproblemes. Und
umgekehrt könnte man die Ermittelung aller allgemeinen Lösungen zu
einer gegebenen Gleichung 1) [als der Gesamtaussage eines Propositionen-
systems] hinstellen als die Beantwortung der Frage: welche Prämissen eine
gegebene Konklusion liefern („what premises yield a given conclusion“)?

Dass die Beantwortung dieser letztern Frage kaum minder wichtig sei
als die Lösung der erstern Aufgabe, also die Beantwortung der Frage,
welche Konklusion aus gegebnen Prämissen folgt, dies hat schon Peirce8
p. 196 betont — ohne indessen dem Auflösungsprobleme als solchem irgend
eine Behandlung zuteil werden zu lassen. —

Wir hatten bei den Betrachtungen dieses Paragraphen eingangs
vorausgesetzt (was theoretisch immer hinzubringen gewesen), dass die
aufzulösende Gleichung F(x) = 0, wenn überhaupt, so bedingungslos
auflösbar sei, mithin durch Elimination von x keine „Resultante“ lie-
fere. Praktisch liegt zumeist der gegenteilige Fall vor. Und wenn
wir nun für jenen Fall das allgemeine Schema gefunden haben, nach
welchem die Lösung immer anzusetzen ist, so müssen wir doch auch
diesen Fall noch erledigen. Wir müssen die Aufmerksamkeit des
Lesers noch für die Frage in Anspruch nehmen: wie unser Schema
dann zu modifiziren sein wird, wenn die aufzulösende Gleichung 1)
eine (von x freie) Resultante R = 0 liefert?

Unter R haben wir uns dabei irgend eine Funktion φ(b, c, …, y, z, …)
von als gegeben zu denkenden Parametern, wie Polynomkoeffizienten
z. B., eventuell auch von noch andern Unbekannten, vorzustellen.


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[175/0189] § 12. Eliminationsproblem als Umkehrung des Auflösungsproblems. ihrer allgemeinen Lösung x = f(u) fortzuschreiten; bei diesem aber wird nun verlangt den umgekehrten Weg zurückzulegen. Ist mit 3) die Lösung von 1) gefunden, so stellt uns auch die — aus 8) a fortiori folgende — Subsumtion: 18) {f(u) = x} ⋹ {F(x) = 0} die Lösung vor des Problemes der Elimination von u aus der link- seitigen Gleichung, nämlich aus 2); und zwar ist die rechte Seite, d. i. die Gleichung 1) — wegen 9) — auch die volle Resultante. Dass beim Auflösungsprobleme — wie bereits erhärtet — so viele wesentlich verschiedene Formen der allgemeinen Wurzel existiren, wird uns nun nicht mehr Wunder nehmen, denn dieser Umstand stellt sich jetzt dar als ein Ausfluss der von vornherein plausibeln Thatsache, dass sehr verschiedene Ausgangsgleichungen doch die nämliche Resul- tante liefern können, wie bekanntlich zuweilen ganz verschiedene Prä- missen doch dieselbe Konklusion liefern. Die letztere zu gewinnen ist das Ziel des Eliminationsproblemes. Und umgekehrt könnte man die Ermittelung aller allgemeinen Lösungen zu einer gegebenen Gleichung 1) [als der Gesamtaussage eines Propositionen- systems] hinstellen als die Beantwortung der Frage: welche Prämissen eine gegebene Konklusion liefern („what premises yield a given conclusion“)? Dass die Beantwortung dieser letztern Frage kaum minder wichtig sei als die Lösung der erstern Aufgabe, also die Beantwortung der Frage, welche Konklusion aus gegebnen Prämissen folgt, dies hat schon Peirce8 p. 196 betont — ohne indessen dem Auflösungsprobleme als solchem irgend eine Behandlung zuteil werden zu lassen. — Wir hatten bei den Betrachtungen dieses Paragraphen eingangs vorausgesetzt (was theoretisch immer hinzubringen gewesen), dass die aufzulösende Gleichung F(x) = 0, wenn überhaupt, so bedingungslos auflösbar sei, mithin durch Elimination von x keine „Resultante“ lie- fere. Praktisch liegt zumeist der gegenteilige Fall vor. Und wenn wir nun für jenen Fall das allgemeine Schema gefunden haben, nach welchem die Lösung immer anzusetzen ist, so müssen wir doch auch diesen Fall noch erledigen. Wir müssen die Aufmerksamkeit des Lesers noch für die Frage in Anspruch nehmen: wie unser Schema dann zu modifiziren sein wird, wenn die aufzulösende Gleichung 1) eine (von x freie) Resultante R = 0 liefert? Unter R haben wir uns dabei irgend eine Funktion φ(b, c, …, y, z, …) von als gegeben zu denkenden Parametern, wie Polynomkoeffizienten z. B., eventuell auch von noch andern Unbekannten, vorzustellen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 175. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/189>, abgerufen am 28.04.2024.