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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Fünfte Vorlesung.

Wir erhalten leicht die beiden Unterfälle des dortigen allgemeinen
Satzes:
16) [Formel 1]
17) [Formel 2] .

Soviel über das Auflösungsproblem im Allgemeinen.

Das mit jedem solchen unweigerlich verbundene Eliminationspro-
blem gipfelte in der Forderung aus jeder Gleichung 1) oder Subsumtion
F(x) 0 ein Relativ x zu eliminiren. Kann man irgendein, jedes
gewünschte Relativ eliminiren, so vermag man auch deren mehrere in
irgend welcher Folge und damit auch irgend ein System von Rela-
tiven -- dem Effekt nach simultan -- zu eliminiren (so wenigstens
gewiss bei endlich begrenzter Anzahl von Eliminanden).

Ändern wir die Bezeichnungen ein wenig ab, so kommt es also
darauf an: aus irgend einer Gleichung
f(u) = 0
ein Relativ u eliminiren zu lernen.

Zweckmässig mag es erscheinen, dies Problem in der blos formell
etwas allgemeineren Fassung in Angriff zu nehmen, dass man sogleich
die Resultante der Elimination eines u zu bilden fordert aus einer
Gleichung von der Form
f(u) = x.

Denn wie sich einerseits die letztere ja leicht auf das Prädikat 0
bringen liesse, so ist andrerseits klar, dass sobald wir bei ihr (für ein
irgendwie gegeben gedachtes x) die Resultante der Elimination von u
in Gestalt einer Subsumtion
F(x) 0
ermittelt haben, dann auch in Gestalt von
F(0) 0
die Resultante des vorhergehenden (der Form nach etwas spezielleren)
Eliminationsproblems gefunden sein wird.

In dieser weiteren Fassung erscheint aber unser Eliminations-
problem als die unmittelbare Umkehrung, Inversion eines reinen Auf-
lösungsproblems, und erlangen wir durch sie den Vorteil, zu sehen,
dass mit jedem reinen Auflösungsprobleme zugleich auch ein gewisses
Eliminationsproblem seine Lösung findet, und vice versa.

Bei jenem kam es darauf an, von der Gleichung F(x) = 0 zu

Fünfte Vorlesung.

Wir erhalten leicht die beiden Unterfälle des dortigen allgemeinen
Satzes:
16) [Formel 1]
17) [Formel 2] .

Soviel über das Auflösungsproblem im Allgemeinen.

Das mit jedem solchen unweigerlich verbundene Eliminationspro-
blem gipfelte in der Forderung aus jeder Gleichung 1) oder Subsumtion
F(x) ⋹ 0 ein Relativ x zu eliminiren. Kann man irgendein, jedes
gewünschte Relativ eliminiren, so vermag man auch deren mehrere in
irgend welcher Folge und damit auch irgend ein System von Rela-
tiven — dem Effekt nach simultan — zu eliminiren (so wenigstens
gewiss bei endlich begrenzter Anzahl von Eliminanden).

Ändern wir die Bezeichnungen ein wenig ab, so kommt es also
darauf an: aus irgend einer Gleichung
f(u) = 0
ein Relativ u eliminiren zu lernen.

Zweckmässig mag es erscheinen, dies Problem in der blos formell
etwas allgemeineren Fassung in Angriff zu nehmen, dass man sogleich
die Resultante der Elimination eines u zu bilden fordert aus einer
Gleichung von der Form
f(u) = x.

Denn wie sich einerseits die letztere ja leicht auf das Prädikat 0
bringen liesse, so ist andrerseits klar, dass sobald wir bei ihr (für ein
irgendwie gegeben gedachtes x) die Resultante der Elimination von u
in Gestalt einer Subsumtion
F(x) ⋹ 0
ermittelt haben, dann auch in Gestalt von
F(0) ⋹ 0
die Resultante des vorhergehenden (der Form nach etwas spezielleren)
Eliminationsproblems gefunden sein wird.

In dieser weiteren Fassung erscheint aber unser Eliminations-
problem als die unmittelbare Umkehrung, Inversion eines reinen Auf-
lösungsproblems, und erlangen wir durch sie den Vorteil, zu sehen,
dass mit jedem reinen Auflösungsprobleme zugleich auch ein gewisses
Eliminationsproblem seine Lösung findet, und vice versa.

Bei jenem kam es darauf an, von der Gleichung F(x) = 0 zu

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[174/0188] Fünfte Vorlesung. Wir erhalten leicht die beiden Unterfälle des dortigen allgemeinen Satzes: 16) [FORMEL] 17) [FORMEL]. Soviel über das Auflösungsproblem im Allgemeinen. Das mit jedem solchen unweigerlich verbundene Eliminationspro- blem gipfelte in der Forderung aus jeder Gleichung 1) oder Subsumtion F(x) ⋹ 0 ein Relativ x zu eliminiren. Kann man irgendein, jedes gewünschte Relativ eliminiren, so vermag man auch deren mehrere in irgend welcher Folge und damit auch irgend ein System von Rela- tiven — dem Effekt nach simultan — zu eliminiren (so wenigstens gewiss bei endlich begrenzter Anzahl von Eliminanden). Ändern wir die Bezeichnungen ein wenig ab, so kommt es also darauf an: aus irgend einer Gleichung f(u) = 0 ein Relativ u eliminiren zu lernen. Zweckmässig mag es erscheinen, dies Problem in der blos formell etwas allgemeineren Fassung in Angriff zu nehmen, dass man sogleich die Resultante der Elimination eines u zu bilden fordert aus einer Gleichung von der Form f(u) = x. Denn wie sich einerseits die letztere ja leicht auf das Prädikat 0 bringen liesse, so ist andrerseits klar, dass sobald wir bei ihr (für ein irgendwie gegeben gedachtes x) die Resultante der Elimination von u in Gestalt einer Subsumtion F(x) ⋹ 0 ermittelt haben, dann auch in Gestalt von F(0) ⋹ 0 die Resultante des vorhergehenden (der Form nach etwas spezielleren) Eliminationsproblems gefunden sein wird. In dieser weiteren Fassung erscheint aber unser Eliminations- problem als die unmittelbare Umkehrung, Inversion eines reinen Auf- lösungsproblems, und erlangen wir durch sie den Vorteil, zu sehen, dass mit jedem reinen Auflösungsprobleme zugleich auch ein gewisses Eliminationsproblem seine Lösung findet, und vice versa. Bei jenem kam es darauf an, von der Gleichung F(x) = 0 zu

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 174. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/188>, abgerufen am 27.04.2024.