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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Fünfte Vorlesung.
zu wissen, welches in f(u) eingesetzt gerade jenes x liefert. Und
diesem Verlangen kann nicht einfacher und besser -- auch mnemo-
nischer -- allgemein genügt werden, als wenn die allgemeine Lösung
so eingerichtet wird, dass sie für u = x selber jenes x liefert!

Diese Anforderung an die allgemeine Lösung zu stellen recht-
fertigt sich noch unter einem zweiten und einem dritten Gesichtspunkte.

Ein zweiter ist der der Kontrole oder Probe für die Richtigkeit
einer gefundenen Lösung (oder auch nur Wurzel) der Gleichung 1).
Die "allgemeine Lösung" soll diese Kontrole auch für jeden speziellen
oder Partikularwert der allgemeinen Wurzel selbst übernehmen; sie
soll die Probe der Einsetzung des als x = f(u) gefundenen x in das
Polynom F(x) der aufzulösenden Gleichung ersparen, gewisse Garantieen
für dessen Richtigkeit schon in sich selbst bieten und zur Schau tragen:

Um verschiedene oder gar alle Wurzeln von 1) zu gewinnen, haben
wir in dem Ausdruck f(u) andre und andre, prinzipiell alle erdenk-
lichen Relative für den unbestimmten Parameter u einzusetzen resp.
eingesetzt zu denken. Ohne dem Begriff 3) der allgemeinen Lösung
von 1) zu widersprechen kann nun f(u) so beschaffen sein, dass wenn
man für u eine Wurzel x1 selbst einsetzt, irgend eine andre Wurzel
x2 = f(x1) herauskommt, und falls man x2 einsetzt wieder eine andre
Wurzel x3 = f(x2) und so weiter. Ob ein für u genommener Wert
nicht vielleicht selbst eine Wurzel der Gleichung F(x) = 0 schon ist,
kann man bei solcher Sachlage nicht merken ohne mit ihm direkt
die Probe zu machen: seiner Einsetzung in das Polynom F(x) unsrer
Gleichung 1) behufs Nachsehens, ob dasselbe für ihn verschwinde. Ein
Hauptzweck der allgemeinen Lösung, uns diese Probe einfürallemal zu
ersparen, wird damit hinfällig. Dann könnten wir beinah ebensogut
auf die allgemeine Lösung verzichten und uns begnügen, die Relative
blos empirisch in zwei Klassen zu sondern, indem wir sie sämtlich
einzeln durchgehen: in solche u für welche F(u) 0 sich erweist,
und in solche u, die dann x zu nennen, für welche sich F(u) = 0
herausstellt.

Ein Gleichniss macht die Sache am deutlichsten. Wenig würde
die Beförderung auf der Eisenbahn uns frommen, wenn der Zug die
wünschenswerten Aussteigestellen ohne anzuhalten durchführe, oder
wenn auf der Fahrt die Stationen sich durch nichts uns verrieten.

Haben wir eine Wurzel x, die vielleicht von besonderem Interesse
für uns ist, richtig vermutet oder erraten, sie vielleicht durch Über-
legungen von noch zweifelhafter Bündigkeit gewonnen, so muss die
allgemeine Lösung uns kund geben, dass dies eine richtige Wurzel ist;

Fünfte Vorlesung.
zu wissen, welches in f(u) eingesetzt gerade jenes x liefert. Und
diesem Verlangen kann nicht einfacher und besser — auch mnemo-
nischer — allgemein genügt werden, als wenn die allgemeine Lösung
so eingerichtet wird, dass sie für u = x selber jenes x liefert!

Diese Anforderung an die allgemeine Lösung zu stellen recht-
fertigt sich noch unter einem zweiten und einem dritten Gesichtspunkte.

Ein zweiter ist der der Kontrole oder Probe für die Richtigkeit
einer gefundenen Lösung (oder auch nur Wurzel) der Gleichung 1).
Die „allgemeine Lösung“ soll diese Kontrole auch für jeden speziellen
oder Partikularwert der allgemeinen Wurzel selbst übernehmen; sie
soll die Probe der Einsetzung des als x = f(u) gefundenen x in das
Polynom F(x) der aufzulösenden Gleichung ersparen, gewisse Garantieen
für dessen Richtigkeit schon in sich selbst bieten und zur Schau tragen:

Um verschiedene oder gar alle Wurzeln von 1) zu gewinnen, haben
wir in dem Ausdruck f(u) andre und andre, prinzipiell alle erdenk-
lichen Relative für den unbestimmten Parameter u einzusetzen resp.
eingesetzt zu denken. Ohne dem Begriff 3) der allgemeinen Lösung
von 1) zu widersprechen kann nun f(u) so beschaffen sein, dass wenn
man für u eine Wurzel x1 selbst einsetzt, irgend eine andre Wurzel
x2 = f(x1) herauskommt, und falls man x2 einsetzt wieder eine andre
Wurzel x3 = f(x2) und so weiter. Ob ein für u genommener Wert
nicht vielleicht selbst eine Wurzel der Gleichung F(x) = 0 schon ist,
kann man bei solcher Sachlage nicht merken ohne mit ihm direkt
die Probe zu machen: seiner Einsetzung in das Polynom F(x) unsrer
Gleichung 1) behufs Nachsehens, ob dasselbe für ihn verschwinde. Ein
Hauptzweck der allgemeinen Lösung, uns diese Probe einfürallemal zu
ersparen, wird damit hinfällig. Dann könnten wir beinah ebensogut
auf die allgemeine Lösung verzichten und uns begnügen, die Relative
blos empirisch in zwei Klassen zu sondern, indem wir sie sämtlich
einzeln durchgehen: in solche u für welche F(u) ≠ 0 sich erweist,
und in solche u, die dann x zu nennen, für welche sich F(u) = 0
herausstellt.

Ein Gleichniss macht die Sache am deutlichsten. Wenig würde
die Beförderung auf der Eisenbahn uns frommen, wenn der Zug die
wünschenswerten Aussteigestellen ohne anzuhalten durchführe, oder
wenn auf der Fahrt die Stationen sich durch nichts uns verrieten.

Haben wir eine Wurzel x, die vielleicht von besonderem Interesse
für uns ist, richtig vermutet oder erraten, sie vielleicht durch Über-
legungen von noch zweifelhafter Bündigkeit gewonnen, so muss die
allgemeine Lösung uns kund geben, dass dies eine richtige Wurzel ist;

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[170/0184] Fünfte Vorlesung. zu wissen, welches in f(u) eingesetzt gerade jenes x liefert. Und diesem Verlangen kann nicht einfacher und besser — auch mnemo- nischer — allgemein genügt werden, als wenn die allgemeine Lösung so eingerichtet wird, dass sie für u = x selber jenes x liefert! Diese Anforderung an die allgemeine Lösung zu stellen recht- fertigt sich noch unter einem zweiten und einem dritten Gesichtspunkte. Ein zweiter ist der der Kontrole oder Probe für die Richtigkeit einer gefundenen Lösung (oder auch nur Wurzel) der Gleichung 1). Die „allgemeine Lösung“ soll diese Kontrole auch für jeden speziellen oder Partikularwert der allgemeinen Wurzel selbst übernehmen; sie soll die Probe der Einsetzung des als x = f(u) gefundenen x in das Polynom F(x) der aufzulösenden Gleichung ersparen, gewisse Garantieen für dessen Richtigkeit schon in sich selbst bieten und zur Schau tragen: Um verschiedene oder gar alle Wurzeln von 1) zu gewinnen, haben wir in dem Ausdruck f(u) andre und andre, prinzipiell alle erdenk- lichen Relative für den unbestimmten Parameter u einzusetzen resp. eingesetzt zu denken. Ohne dem Begriff 3) der allgemeinen Lösung von 1) zu widersprechen kann nun f(u) so beschaffen sein, dass wenn man für u eine Wurzel x1 selbst einsetzt, irgend eine andre Wurzel x2 = f(x1) herauskommt, und falls man x2 einsetzt wieder eine andre Wurzel x3 = f(x2) und so weiter. Ob ein für u genommener Wert nicht vielleicht selbst eine Wurzel der Gleichung F(x) = 0 schon ist, kann man bei solcher Sachlage nicht merken ohne mit ihm direkt die Probe zu machen: seiner Einsetzung in das Polynom F(x) unsrer Gleichung 1) behufs Nachsehens, ob dasselbe für ihn verschwinde. Ein Hauptzweck der allgemeinen Lösung, uns diese Probe einfürallemal zu ersparen, wird damit hinfällig. Dann könnten wir beinah ebensogut auf die allgemeine Lösung verzichten und uns begnügen, die Relative blos empirisch in zwei Klassen zu sondern, indem wir sie sämtlich einzeln durchgehen: in solche u für welche F(u) ≠ 0 sich erweist, und in solche u, die dann x zu nennen, für welche sich F(u) = 0 herausstellt. Ein Gleichniss macht die Sache am deutlichsten. Wenig würde die Beförderung auf der Eisenbahn uns frommen, wenn der Zug die wünschenswerten Aussteigestellen ohne anzuhalten durchführe, oder wenn auf der Fahrt die Stationen sich durch nichts uns verrieten. Haben wir eine Wurzel x, die vielleicht von besonderem Interesse für uns ist, richtig vermutet oder erraten, sie vielleicht durch Über- legungen von noch zweifelhafter Bündigkeit gewonnen, so muss die allgemeine Lösung uns kund geben, dass dies eine richtige Wurzel ist;

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 170. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/184>, abgerufen am 27.04.2024.