wir sind alsdann bei der gewünschten Endstation angelangt, und dass wir uns schon da befinden, muss uns kund werden; der Zug darf nicht weiter fahren zu einer andern Wurzel.
Zu den in ihrem Begriff liegenden primären oder Minimal-Anforde- rungen der allgemeinen Lösung tritt also als eine sekundäre oder Adventiv-Anforderung aus den erwähnten beiden Gründen noch die hinzu, dass die allgemeine Lösung uns jede glücklich vermutete Wurzel als solche dadurch verrate, dass ihr Ausdruck bei deren Einsetzung für das u in f(u) uns diese Wurzel selbst wiedergibt, sie reproduzirt.
Das heisst: f(u) muss so beschaffen sein, wenn anders es eine befriedigende allgemeine Lösung soll heissen dürfen, dass 13) {F(x) = 0} {f(x) = x}. Und da die umgekehrte Aussagensubsumtion -- nach 3) für u = x in Anspruch genommen -- schon ohnehin gilt, so mögen wir dieser Sub- sumtion auch die Form geben der Gleichung 4).
Diese zusätzliche oder adventive Anforderung 4) an die allgemeine Lösung genügt ihrerseits, wenn für eine gewisse Funktion f erfüllt, noch nicht, um diese Funktion als zur Darstellung der allgemeinen Lösung von 1) geeignet zu legitimiren; vielmehr garantirt sie blos, dass die Funktion f(u) alle Wurzeln x umfasse, es offen lassend, ob sie nicht auch noch andre als wie Wurzelwerte anzunehmen oder zu liefern fähig wäre; sie verbürgt uns blos, dass "die Probe 2" stimmen muss.
Andrerseits sahen wir auch, dass 4) keineswegs logische Folge von 3) ist -- wie zum. Überfluss weiter unten streng bewiesen wird.
Zur Charakterisirung einer "nicht vorweg unbefriedigenden" all- gemeinen Lösung müssten wir also eigentlich das Produkt der Aus- sagen 3) und 4) oder auch deren Vereinigung zur Doppelgleichung 14)
[Formel 1]
jeweils hinschreiben.
Bei allen Lösungen von speziellen Problemen, die wir künftig auf- stellen, werden wir Sorge tragen, dass jene Adventivforderung mit- erfüllt ist, und unsre Angaben von Lösungen werden allemal (wonicht anders bemerkt) deren Erfüllung thatsächlich leisten und sie zu erfüllen beanspruchen. Es wäre aber zu umständlich, diesem Umstande mittelst ausdrücklicher Beifügung des Ansatzes f(x) = x -- zumal, wo f(u) einen verwickelten Ausdruck besitzt -- jeweils Rechnung zu tragen, und so werden wir uns mit der Angabe der Lösungen in Gestalt von 3) begnügen. Man merkt sich leicht hinzu: dass u = x immer einen zu- lässigen Wert des u bildet, fähig die Wurzel x zu liefern.
§ 12. Die (erste) Adventivforderung motivirt.
wir sind alsdann bei der gewünschten Endstation angelangt, und dass wir uns schon da befinden, muss uns kund werden; der Zug darf nicht weiter fahren zu einer andern Wurzel.
Zu den in ihrem Begriff liegenden primären oder Minimal-Anforde- rungen der allgemeinen Lösung tritt also als eine sekundäre oder Adventiv-Anforderung aus den erwähnten beiden Gründen noch die hinzu, dass die allgemeine Lösung uns jede glücklich vermutete Wurzel als solche dadurch verrate, dass ihr Ausdruck bei deren Einsetzung für das u in f(u) uns diese Wurzel selbst wiedergibt, sie reproduzirt.
Das heisst: f(u) muss so beschaffen sein, wenn anders es eine befriedigende allgemeine Lösung soll heissen dürfen, dass 13) {F(x) = 0} ⋹ {f(x) = x}. Und da die umgekehrte Aussagensubsumtion — nach 3) für u = x in Anspruch genommen — schon ohnehin gilt, so mögen wir dieser Sub- sumtion auch die Form geben der Gleichung 4).
Diese zusätzliche oder adventive Anforderung 4) an die allgemeine Lösung genügt ihrerseits, wenn für eine gewisse Funktion f erfüllt, noch nicht, um diese Funktion als zur Darstellung der allgemeinen Lösung von 1) geeignet zu legitimiren; vielmehr garantirt sie blos, dass die Funktion f(u) alle Wurzeln x umfasse, es offen lassend, ob sie nicht auch noch andre als wie Wurzelwerte anzunehmen oder zu liefern fähig wäre; sie verbürgt uns blos, dass „die Probe 2“ stimmen muss.
Andrerseits sahen wir auch, dass 4) keineswegs logische Folge von 3) ist — wie zum. Überfluss weiter unten streng bewiesen wird.
Zur Charakterisirung einer „nicht vorweg unbefriedigenden“ all- gemeinen Lösung müssten wir also eigentlich das Produkt der Aus- sagen 3) und 4) oder auch deren Vereinigung zur Doppelgleichung 14)
[Formel 1]
jeweils hinschreiben.
Bei allen Lösungen von speziellen Problemen, die wir künftig auf- stellen, werden wir Sorge tragen, dass jene Adventivforderung mit- erfüllt ist, und unsre Angaben von Lösungen werden allemal (wonicht anders bemerkt) deren Erfüllung thatsächlich leisten und sie zu erfüllen beanspruchen. Es wäre aber zu umständlich, diesem Umstande mittelst ausdrücklicher Beifügung des Ansatzes f(x) = x — zumal, wo f(u) einen verwickelten Ausdruck besitzt — jeweils Rechnung zu tragen, und so werden wir uns mit der Angabe der Lösungen in Gestalt von 3) begnügen. Man merkt sich leicht hinzu: dass u = x immer einen zu- lässigen Wert des u bildet, fähig die Wurzel x zu liefern.
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weiter fahren zu einer andern Wurzel.
Zu den in ihrem Begriff liegenden primären oder Minimal-Anforde-
rungen der allgemeinen Lösung tritt also als eine sekundäre oder
Adventiv-Anforderung aus den erwähnten beiden Gründen noch die
hinzu, dass die allgemeine Lösung uns jede glücklich vermutete Wurzel
als solche dadurch verrate, dass ihr Ausdruck bei deren Einsetzung
für das u in f(u) uns diese Wurzel selbst wiedergibt, sie reproduzirt.
Das heisst: f(u) muss so beschaffen sein, wenn anders es eine
befriedigende allgemeine Lösung soll heissen dürfen, dass
13) {F(x) = 0} ⋹ {f(x) = x}.
Und da die umgekehrte Aussagensubsumtion — nach 3) für u = x in
Anspruch genommen — schon ohnehin gilt, so mögen wir dieser Sub-
sumtion auch die Form geben der Gleichung 4).
Diese zusätzliche oder adventive Anforderung 4) an die allgemeine
Lösung genügt ihrerseits, wenn für eine gewisse Funktion f erfüllt,
noch nicht, um diese Funktion als zur Darstellung der allgemeinen
Lösung von 1) geeignet zu legitimiren; vielmehr garantirt sie blos,
dass die Funktion f(u) alle Wurzeln x umfasse, es offen lassend, ob
sie nicht auch noch andre als wie Wurzelwerte anzunehmen oder zu
liefern fähig wäre; sie verbürgt uns blos, dass „die Probe 2“ stimmen muss.
Andrerseits sahen wir auch, dass 4) keineswegs logische Folge
von 3) ist — wie zum. Überfluss weiter unten streng bewiesen wird.
Zur Charakterisirung einer „nicht vorweg unbefriedigenden“ all-
gemeinen Lösung müssten wir also eigentlich das Produkt der Aus-
sagen 3) und 4) oder auch deren Vereinigung zur Doppelgleichung
14) [FORMEL]
jeweils hinschreiben.
Bei allen Lösungen von speziellen Problemen, die wir künftig auf-
stellen, werden wir Sorge tragen, dass jene Adventivforderung mit-
erfüllt ist, und unsre Angaben von Lösungen werden allemal (wonicht
anders bemerkt) deren Erfüllung thatsächlich leisten und sie zu erfüllen
beanspruchen. Es wäre aber zu umständlich, diesem Umstande mittelst
ausdrücklicher Beifügung des Ansatzes f(x) = x — zumal, wo f(u)
einen verwickelten Ausdruck besitzt — jeweils Rechnung zu tragen,
und so werden wir uns mit der Angabe der Lösungen in Gestalt von 3)
begnügen. Man merkt sich leicht hinzu: dass u = x immer einen zu-
lässigen Wert des u bildet, fähig die Wurzel x zu liefern.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 171. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/185>, abgerufen am 28.04.2024.
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