Zur Begründung dieser Schemata ist bei 6) und 7) -- welch letz- teres durch Kontraposition aus 6) hervorgeht -- keine weitre Bemerkung vonnöten.
Das Schema 8) wird man am bequemsten durch Kontraposition aus 9) ableiten, und um letzteres zu rechtfertigen, hat man z. B. links vom Mittelstriche: L = (0 j an j 0 = 0)(0 j bn j 0 = 0) .. = (0 j an j 0 + 0 j bn j 0 + .. = 0) = R nach 1), 6) und 3), q. e. d.
Wenn nun also in der Aussagenfunktion, welche die Gesamtaus- sage der Data eines Problemes vorstellt, gemäss dem Schema 8) alle Alternativen oder Summen von Gleichungen -- mittelst Zusammen- ziehung in eine einzige Gleichung -- sich beseitigen liessen, so können wir schliesslich nur mehr ein Produkt, das ist ein "System" von koexi- stirenden oder simultanen Gleichungen vor uns haben.
Ein solches aber zieht sich nach längst bekannten Boole'schen Sätzen -- vgl. 6) -- vollends zusammen in, ist ersetzbar durch eine einzige Gleichung, die wir die vereinigte Gleichung des Systems genannt haben.
Damit ist der wichtige Satz gewonnen: In der Algebra der bi- nären Relative lässt jeder Komplex von Aussagen -- so namentlich also auch die Gesamtheit der Data irgend eines Problems -- sich zusam- menziehn in eine einzige Gleichung, in welcher neben oder ausser ihrem einen Gleichheitszeichen andre Zeichen von "Umfangsbeziehungen" (wie =, , etc.) nicht mehr vorkommen. Auch die "sekundären" Aussagen (im Boole'schen Sinne) sind hier reduzirbar auf eine "primäre".
Die Gleichung kann nach Belieben mit der rechten Seite 0 oder 1 angesetzt werden, und wird ihr "Polynom" alsdann sein: eine "Funk- tion im Sinne unsrer Algebra der Relative" von all den Relativen, auf die sich die Teilaussagen bezogen, das heisst: ein Ausdruck, welcher aus ebendiesen Relativen und eventuell auch noch den Moduln unsrer Theorie lediglich vermittelst der sechs Spezies derselben aufgebaut erscheint.
Ist die Gleichung nicht auf 0 oder 1 gebracht, so gilt das nämliche von ihren beiden Seiten: jede von diesen muss eine "Funktion" sein im genannten Sinne von den vorkommenden Argumenten.
Gedachte "Funktion" ist selbst ein binäres Relativ und mag für den Augenblick f genannt werden. Dann stellt sich also eine Glei- chung von der Form f = 0 dar als die Einkleidung der Data des allgemeinsten in unsrer Theorie erdenklichen Problemes.
Ich werde diese als die "vereinigte Gleichung" oder "Gesamtaus-
§ 11. Gesamtaussage der Data jedweden Problems.
Zur Begründung dieser Schemata ist bei 6) und 7) — welch letz- teres durch Kontraposition aus 6) hervorgeht — keine weitre Bemerkung vonnöten.
Das Schema 8) wird man am bequemsten durch Kontraposition aus 9) ableiten, und um letzteres zu rechtfertigen, hat man z. B. links vom Mittelstriche: L = (0 ɟ ā ɟ 0 = 0)(0 ɟ b̄ ɟ 0 = 0) ‥ = (0 ɟ ā ɟ 0 + 0 ɟ b̄ ɟ 0 + ‥ = 0) = R nach 1), 6) und 3), q. e. d.
Wenn nun also in der Aussagenfunktion, welche die Gesamtaus- sage der Data eines Problemes vorstellt, gemäss dem Schema 8) alle Alternativen oder Summen von Gleichungen — mittelst Zusammen- ziehung in eine einzige Gleichung — sich beseitigen liessen, so können wir schliesslich nur mehr ein Produkt, das ist ein „System“ von koexi- stirenden oder simultanen Gleichungen vor uns haben.
Ein solches aber zieht sich nach längst bekannten Boole’schen Sätzen — vgl. 6) — vollends zusammen in, ist ersetzbar durch eine einzige Gleichung, die wir die vereinigte Gleichung des Systems genannt haben.
Damit ist der wichtige Satz gewonnen: In der Algebra der bi- nären Relative lässt jeder Komplex von Aussagen — so namentlich also auch die Gesamtheit der Data irgend eines Problems — sich zusam- menziehn in eine einzige Gleichung, in welcher neben oder ausser ihrem einen Gleichheitszeichen andre Zeichen von „Umfangsbeziehungen“ (wie =, ⋹, ≠ etc.) nicht mehr vorkommen. Auch die „sekundären“ Aussagen (im Boole’schen Sinne) sind hier reduzirbar auf eine „primäre“.
Die Gleichung kann nach Belieben mit der rechten Seite 0 oder 1 angesetzt werden, und wird ihr „Polynom“ alsdann sein: eine „Funk- tion im Sinne unsrer Algebra der Relative“ von all den Relativen, auf die sich die Teilaussagen bezogen, das heisst: ein Ausdruck, welcher aus ebendiesen Relativen und eventuell auch noch den Moduln unsrer Theorie lediglich vermittelst der sechs Spezies derselben aufgebaut erscheint.
Ist die Gleichung nicht auf 0 oder 1 gebracht, so gilt das nämliche von ihren beiden Seiten: jede von diesen muss eine „Funktion“ sein im genannten Sinne von den vorkommenden Argumenten.
Gedachte „Funktion“ ist selbst ein binäres Relativ und mag für den Augenblick f genannt werden. Dann stellt sich also eine Glei- chung von der Form f = 0 dar als die Einkleidung der Data des allgemeinsten in unsrer Theorie erdenklichen Problemes.
Ich werde diese als die „vereinigte Gleichung“ oder „Gesamtaus-
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[153/0167]
§ 11. Gesamtaussage der Data jedweden Problems.
Zur Begründung dieser Schemata ist bei 6) und 7) — welch letz-
teres durch Kontraposition aus 6) hervorgeht — keine weitre Bemerkung
vonnöten.
Das Schema 8) wird man am bequemsten durch Kontraposition aus
9) ableiten, und um letzteres zu rechtfertigen, hat man z. B. links vom
Mittelstriche:
L = (0 ɟ ā ɟ 0 = 0)(0 ɟ b̄ ɟ 0 = 0) ‥ = (0 ɟ ā ɟ 0 + 0 ɟ b̄ ɟ 0 + ‥ = 0) = R
nach 1), 6) und 3), q. e. d.
Wenn nun also in der Aussagenfunktion, welche die Gesamtaus-
sage der Data eines Problemes vorstellt, gemäss dem Schema 8) alle
Alternativen oder Summen von Gleichungen — mittelst Zusammen-
ziehung in eine einzige Gleichung — sich beseitigen liessen, so können
wir schliesslich nur mehr ein Produkt, das ist ein „System“ von koexi-
stirenden oder simultanen Gleichungen vor uns haben.
Ein solches aber zieht sich nach längst bekannten Boole’schen
Sätzen — vgl. 6) — vollends zusammen in, ist ersetzbar durch eine
einzige Gleichung, die wir die vereinigte Gleichung des Systems genannt
haben.
Damit ist der wichtige Satz gewonnen: In der Algebra der bi-
nären Relative lässt jeder Komplex von Aussagen — so namentlich also
auch die Gesamtheit der Data irgend eines Problems — sich zusam-
menziehn in eine einzige Gleichung, in welcher neben oder ausser ihrem
einen Gleichheitszeichen andre Zeichen von „Umfangsbeziehungen“
(wie =, ⋹, ≠ etc.) nicht mehr vorkommen. Auch die „sekundären“
Aussagen (im Boole’schen Sinne) sind hier reduzirbar auf eine „primäre“.
Die Gleichung kann nach Belieben mit der rechten Seite 0 oder 1
angesetzt werden, und wird ihr „Polynom“ alsdann sein: eine „Funk-
tion im Sinne unsrer Algebra der Relative“ von all den Relativen, auf
die sich die Teilaussagen bezogen, das heisst: ein Ausdruck, welcher
aus ebendiesen Relativen und eventuell auch noch den Moduln unsrer
Theorie lediglich vermittelst der sechs Spezies derselben aufgebaut erscheint.
Ist die Gleichung nicht auf 0 oder 1 gebracht, so gilt das nämliche
von ihren beiden Seiten: jede von diesen muss eine „Funktion“ sein im
genannten Sinne von den vorkommenden Argumenten.
Gedachte „Funktion“ ist selbst ein binäres Relativ und mag für
den Augenblick f genannt werden. Dann stellt sich also eine Glei-
chung von der Form
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erdenklichen Problemes.
Ich werde diese als die „vereinigte Gleichung“ oder „Gesamtaus-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 153. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/167>, abgerufen am 27.04.2024.
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