Zur Begründung dieser Schemata ist bei 6) und 7) -- welch letz- teres durch Kontraposition aus 6) hervorgeht -- keine weitre Bemerkung vonnöten.
Das Schema 8) wird man am bequemsten durch Kontraposition aus 9) ableiten, und um letzteres zu rechtfertigen, hat man z. B. links vom Mittelstriche: L = (0 j an j 0 = 0)(0 j bn j 0 = 0) .. = (0 j an j 0 + 0 j bn j 0 + .. = 0) = R nach 1), 6) und 3), q. e. d.
Wenn nun also in der Aussagenfunktion, welche die Gesamtaus- sage der Data eines Problemes vorstellt, gemäss dem Schema 8) alle Alternativen oder Summen von Gleichungen -- mittelst Zusammen- ziehung in eine einzige Gleichung -- sich beseitigen liessen, so können wir schliesslich nur mehr ein Produkt, das ist ein "System" von koexi- stirenden oder simultanen Gleichungen vor uns haben.
Ein solches aber zieht sich nach längst bekannten Boole'schen Sätzen -- vgl. 6) -- vollends zusammen in, ist ersetzbar durch eine einzige Gleichung, die wir die vereinigte Gleichung des Systems genannt haben.
Damit ist der wichtige Satz gewonnen: In der Algebra der bi- nären Relative lässt jeder Komplex von Aussagen -- so namentlich also auch die Gesamtheit der Data irgend eines Problems -- sich zusam- menziehn in eine einzige Gleichung, in welcher neben oder ausser ihrem einen Gleichheitszeichen andre Zeichen von "Umfangsbeziehungen" (wie =, , etc.) nicht mehr vorkommen. Auch die "sekundären" Aussagen (im Boole'schen Sinne) sind hier reduzirbar auf eine "primäre".
Die Gleichung kann nach Belieben mit der rechten Seite 0 oder 1 angesetzt werden, und wird ihr "Polynom" alsdann sein: eine "Funk- tion im Sinne unsrer Algebra der Relative" von all den Relativen, auf die sich die Teilaussagen bezogen, das heisst: ein Ausdruck, welcher aus ebendiesen Relativen und eventuell auch noch den Moduln unsrer Theorie lediglich vermittelst der sechs Spezies derselben aufgebaut erscheint.
Ist die Gleichung nicht auf 0 oder 1 gebracht, so gilt das nämliche von ihren beiden Seiten: jede von diesen muss eine "Funktion" sein im genannten Sinne von den vorkommenden Argumenten.
Gedachte "Funktion" ist selbst ein binäres Relativ und mag für den Augenblick f genannt werden. Dann stellt sich also eine Glei- chung von der Form f = 0 dar als die Einkleidung der Data des allgemeinsten in unsrer Theorie erdenklichen Problemes.
Ich werde diese als die "vereinigte Gleichung" oder "Gesamtaus-
§ 11. Gesamtaussage der Data jedweden Problems.
Zur Begründung dieser Schemata ist bei 6) und 7) — welch letz- teres durch Kontraposition aus 6) hervorgeht — keine weitre Bemerkung vonnöten.
Das Schema 8) wird man am bequemsten durch Kontraposition aus 9) ableiten, und um letzteres zu rechtfertigen, hat man z. B. links vom Mittelstriche: L = (0 ɟ ā ɟ 0 = 0)(0 ɟ b̄ ɟ 0 = 0) ‥ = (0 ɟ ā ɟ 0 + 0 ɟ b̄ ɟ 0 + ‥ = 0) = R nach 1), 6) und 3), q. e. d.
Wenn nun also in der Aussagenfunktion, welche die Gesamtaus- sage der Data eines Problemes vorstellt, gemäss dem Schema 8) alle Alternativen oder Summen von Gleichungen — mittelst Zusammen- ziehung in eine einzige Gleichung — sich beseitigen liessen, so können wir schliesslich nur mehr ein Produkt, das ist ein „System“ von koexi- stirenden oder simultanen Gleichungen vor uns haben.
Ein solches aber zieht sich nach längst bekannten Boole’schen Sätzen — vgl. 6) — vollends zusammen in, ist ersetzbar durch eine einzige Gleichung, die wir die vereinigte Gleichung des Systems genannt haben.
Damit ist der wichtige Satz gewonnen: In der Algebra der bi- nären Relative lässt jeder Komplex von Aussagen — so namentlich also auch die Gesamtheit der Data irgend eines Problems — sich zusam- menziehn in eine einzige Gleichung, in welcher neben oder ausser ihrem einen Gleichheitszeichen andre Zeichen von „Umfangsbeziehungen“ (wie =, ⋹, ≠ etc.) nicht mehr vorkommen. Auch die „sekundären“ Aussagen (im Boole’schen Sinne) sind hier reduzirbar auf eine „primäre“.
Die Gleichung kann nach Belieben mit der rechten Seite 0 oder 1 angesetzt werden, und wird ihr „Polynom“ alsdann sein: eine „Funk- tion im Sinne unsrer Algebra der Relative“ von all den Relativen, auf die sich die Teilaussagen bezogen, das heisst: ein Ausdruck, welcher aus ebendiesen Relativen und eventuell auch noch den Moduln unsrer Theorie lediglich vermittelst der sechs Spezies derselben aufgebaut erscheint.
Ist die Gleichung nicht auf 0 oder 1 gebracht, so gilt das nämliche von ihren beiden Seiten: jede von diesen muss eine „Funktion“ sein im genannten Sinne von den vorkommenden Argumenten.
Gedachte „Funktion“ ist selbst ein binäres Relativ und mag für den Augenblick f genannt werden. Dann stellt sich also eine Glei- chung von der Form f = 0 dar als die Einkleidung der Data des allgemeinsten in unsrer Theorie erdenklichen Problemes.
Ich werde diese als die „vereinigte Gleichung“ oder „Gesamtaus-
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0167"n="153"/><fwplace="top"type="header">§ 11. Gesamtaussage der Data jedweden Problems.</fw><lb/><p>Zur <hirendition="#g">Begründung</hi> dieser Schemata ist bei 6) und 7) — welch letz-<lb/>
teres durch Kontraposition aus 6) hervorgeht — keine weitre Bemerkung<lb/>
vonnöten.</p><lb/><p>Das Schema 8) wird man am bequemsten durch Kontraposition aus<lb/>
9) ableiten, und um letzteres zu rechtfertigen, hat man z. B. links vom<lb/>
Mittelstriche:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">L</hi> = (0 ɟ<hirendition="#i">ā</hi>ɟ 0 = 0)(0 ɟ<hirendition="#i">b̄</hi>ɟ 0 = 0) ‥ = (0 ɟ<hirendition="#i">ā</hi>ɟ 0 + 0 ɟ<hirendition="#i">b̄</hi>ɟ 0 + ‥ = 0) = <hirendition="#i">R</hi></hi><lb/>
nach 1), 6) und 3), q. e. d.</p><lb/><p>Wenn nun also in der Aussagenfunktion, welche die Gesamtaus-<lb/>
sage der Data eines Problemes vorstellt, gemäss dem Schema 8) alle<lb/>
Alternativen oder <hirendition="#i">Summen</hi> von Gleichungen — mittelst Zusammen-<lb/>
ziehung in eine einzige Gleichung —<hirendition="#i">sich beseitigen</hi> liessen, so können<lb/>
wir schliesslich nur mehr ein <hirendition="#i">Produkt</hi>, das ist ein „<hirendition="#i">System</hi>“ von koexi-<lb/>
stirenden oder <hirendition="#i">simultanen</hi> Gleichungen vor uns haben.</p><lb/><p>Ein solches aber zieht sich nach längst bekannten <hirendition="#g">Boole’</hi>schen<lb/>
Sätzen — vgl. 6) — vollends zusammen in, ist ersetzbar durch <hirendition="#i">eine<lb/>
einzige Gleichung</hi>, die wir die <hirendition="#i">vereinigte Gleichung</hi> des Systems genannt<lb/>
haben.</p><lb/><p>Damit ist der wichtige <hirendition="#g">Satz</hi> gewonnen: <hirendition="#i">In der Algebra der bi-<lb/>
nären Relative lässt jeder Komplex von Aussagen</hi>— so namentlich also<lb/>
auch die Gesamtheit der Data irgend eines Problems —<hirendition="#i">sich zusam-<lb/>
menziehn in eine einzige Gleichung</hi>, in welcher neben oder ausser ihrem<lb/>
einen Gleichheitszeichen andre Zeichen von „Umfangsbeziehungen“<lb/>
(wie =, ⋹, ≠ etc.) nicht mehr vorkommen. Auch die „sekundären“<lb/>
Aussagen (im Boole’schen Sinne) sind hier reduzirbar auf <hirendition="#i">eine</hi>„primäre“.</p><lb/><p>Die Gleichung kann nach Belieben mit der rechten Seite 0 oder 1<lb/>
angesetzt werden, und wird ihr „Polynom“ alsdann sein: eine „<hirendition="#i">Funk-<lb/>
tion</hi> im Sinne unsrer Algebra der Relative“ von all den Relativen, auf<lb/>
die sich die Teilaussagen bezogen, das heisst: ein <hirendition="#i">Ausdruck</hi>, <hirendition="#i">welcher<lb/>
aus</hi> ebendiesen <hirendition="#i">Relativen</hi> und eventuell auch noch den Moduln unsrer<lb/>
Theorie <hirendition="#i">lediglich vermittelst der sechs Spezies</hi> derselben <hirendition="#i">aufgebaut erscheint</hi>.</p><lb/><p>Ist die Gleichung nicht auf 0 oder 1 gebracht, so gilt das nämliche<lb/>
von ihren beiden Seiten: jede von diesen muss eine „Funktion“ sein im<lb/>
genannten Sinne von den vorkommenden Argumenten.</p><lb/><p>Gedachte „Funktion“ ist selbst ein binäres Relativ und mag für<lb/>
den Augenblick <hirendition="#i">f</hi> genannt werden. Dann stellt sich also eine Glei-<lb/>
chung von der Form<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">f</hi> = 0</hi><lb/>
dar als die Einkleidung der Data des allgemeinsten in unsrer Theorie<lb/>
erdenklichen Problemes.</p><lb/><p>Ich werde diese als die „vereinigte Gleichung“ oder „<hirendition="#i">Gesamtaus-</hi><lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[153/0167]
§ 11. Gesamtaussage der Data jedweden Problems.
Zur Begründung dieser Schemata ist bei 6) und 7) — welch letz-
teres durch Kontraposition aus 6) hervorgeht — keine weitre Bemerkung
vonnöten.
Das Schema 8) wird man am bequemsten durch Kontraposition aus
9) ableiten, und um letzteres zu rechtfertigen, hat man z. B. links vom
Mittelstriche:
L = (0 ɟ ā ɟ 0 = 0)(0 ɟ b̄ ɟ 0 = 0) ‥ = (0 ɟ ā ɟ 0 + 0 ɟ b̄ ɟ 0 + ‥ = 0) = R
nach 1), 6) und 3), q. e. d.
Wenn nun also in der Aussagenfunktion, welche die Gesamtaus-
sage der Data eines Problemes vorstellt, gemäss dem Schema 8) alle
Alternativen oder Summen von Gleichungen — mittelst Zusammen-
ziehung in eine einzige Gleichung — sich beseitigen liessen, so können
wir schliesslich nur mehr ein Produkt, das ist ein „System“ von koexi-
stirenden oder simultanen Gleichungen vor uns haben.
Ein solches aber zieht sich nach längst bekannten Boole’schen
Sätzen — vgl. 6) — vollends zusammen in, ist ersetzbar durch eine
einzige Gleichung, die wir die vereinigte Gleichung des Systems genannt
haben.
Damit ist der wichtige Satz gewonnen: In der Algebra der bi-
nären Relative lässt jeder Komplex von Aussagen — so namentlich also
auch die Gesamtheit der Data irgend eines Problems — sich zusam-
menziehn in eine einzige Gleichung, in welcher neben oder ausser ihrem
einen Gleichheitszeichen andre Zeichen von „Umfangsbeziehungen“
(wie =, ⋹, ≠ etc.) nicht mehr vorkommen. Auch die „sekundären“
Aussagen (im Boole’schen Sinne) sind hier reduzirbar auf eine „primäre“.
Die Gleichung kann nach Belieben mit der rechten Seite 0 oder 1
angesetzt werden, und wird ihr „Polynom“ alsdann sein: eine „Funk-
tion im Sinne unsrer Algebra der Relative“ von all den Relativen, auf
die sich die Teilaussagen bezogen, das heisst: ein Ausdruck, welcher
aus ebendiesen Relativen und eventuell auch noch den Moduln unsrer
Theorie lediglich vermittelst der sechs Spezies derselben aufgebaut erscheint.
Ist die Gleichung nicht auf 0 oder 1 gebracht, so gilt das nämliche
von ihren beiden Seiten: jede von diesen muss eine „Funktion“ sein im
genannten Sinne von den vorkommenden Argumenten.
Gedachte „Funktion“ ist selbst ein binäres Relativ und mag für
den Augenblick f genannt werden. Dann stellt sich also eine Glei-
chung von der Form
f = 0
dar als die Einkleidung der Data des allgemeinsten in unsrer Theorie
erdenklichen Problemes.
Ich werde diese als die „vereinigte Gleichung“ oder „Gesamtaus-
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 153. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/167>, abgerufen am 27.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
