Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 7. Die Beweise zu den Gesetzen.

Ebenso haben wir zur zweiten Formel 7):
L_{i j} = {(a ɟ b) ; c}_{i j} = Σ_kΠ_h(a_{i h} + b_{h k})c_{k j} ⋹ Σ_kΠ_h(a_{i h} + b_{h k}c_{k j}),
R_{i j} = (a ɟ b ; c)_{i j} = Π_hΣ_k(a_{i h} + b_{h k}c_{k j}),
also nach demselben Schema L_{i j} ⋹ R_{i j}, q. e. d.

Behufs Beweises der drei Formeln 8) des § 6 S. 83 müssen wir
uns auf die Festsetzungen (11) und (13) S. 29 berufen. Erste Formel.

Macht man der Deutlichkeit zuliebe ausgiebigen Gebrauch von
Klammern, so bedeutet:
ā̄ = (ā)͞,
somit
ā̄_{i j} = (ā̄)_{i j} = [(ā)͞]_{i j}.
Dies ist aber nach (11):
[Formel 1] .

Dass nun bei Koeffizienten oder Aussagen die doppelte Verneinung
sich aufhebt, darauf dürfen wir uns schon längst berufen; es ist also
(a_{i j})͞͞ = a_{i j}
und damit ist auch gezeigt, dass ā̄_{i j} = a_{i j}, das heisst ā̄ = a ist, in
Anbetracht dass die Gleichheit der Relative auf die Übereinstimmung
ihres allgemeinen Koeffizienten hinausläuft — q. e. d.

Bei der zweiten Formel 8) bedeutet:
ă̄ = (ă)͞ und ā̆ = (ā)͝
Nach (11) und (13) wird aber:
ă̄_{i j} = [(ă)͞]_{i j} = {(ă)_{i j}}͞ = {a_{j i}}͞ = (ā)_{j i} = ā_{j i} und ā̆_{i j} = [(ā)͝]_{i j} = (ā)_{j i} = ā_{j i}
(wo der letzte Ausdruck nur eine Namensabkürzung des vorletzten ist),
somit allgemein ă̄_{i j} = ā̆_{i j} und damit auch ă̄ = ā̆, wie zu beweisen war.

Die dritte Formel 8) betreffend ist zu bedenken, dass
ă̆ = (ă)͝
bedeutet, somit:
ă̆_{i j} = [(ă)͝]_{i j} = (ă)_{j i} = a_{i j}
nach (13) sein muss, indem sich durch die zweimal hintereinander voll-
zogene Vertauschung der beiden Indizes im Suffixe deren ursprüngliche
Ordnung wiederherstellt — q. e. d.

Wer das Bedürfniss empfindet, sich das Verständniss noch mehr zu
erleichtern, der möge hier einfachere Namen, wie b für ā und c für ă,
ad hoc — für den Augenblick — einführen.