Ebenso haben wir zur zweiten Formel 7): Li j = {(a j b) ; c}i j = SkPh(ai h + bh k)ck jSkPh(ai h + bh kck j), Ri j = (a j b ; c)i j = PhSk(ai h + bh kck j), also nach demselben Schema Li jRi j, q. e. d.
Behufs Beweises der drei Formeln 8) des § 6 S. 83 müssen wir uns auf die Festsetzungen (11) und (13) S. 29 berufen. Erste Formel.
Macht man der Deutlichkeit zuliebe ausgiebigen Gebrauch von Klammern, so bedeutet: ann = (an), somit anni j = (ann)i j = [(an)]i j. Dies ist aber nach (11):
[Formel 1]
.
Dass nun bei Koeffizienten oder Aussagen die doppelte Verneinung sich aufhebt, darauf dürfen wir uns schon längst berufen; es ist also (ai j) = ai j und damit ist auch gezeigt, dass anni j = ai j, das heisst ann = a ist, in Anbetracht dass die Gleichheit der Relative auf die Übereinstimmung ihres allgemeinen Koeffizienten hinausläuft -- q. e. d.
Bei der zweiten Formel 8) bedeutet: an = (a) und an = (an) Nach (11) und (13) wird aber: ani j = [(a)]i j = {(a)i j} = {aj i} = (an)j i = anj i und ani j = [(an)]i j = (an)j i = anj i (wo der letzte Ausdruck nur eine Namensabkürzung des vorletzten ist), somit allgemein ani j = ani j und damit auch an = an, wie zu beweisen war.
Die dritte Formel 8) betreffend ist zu bedenken, dass a = (a) bedeutet, somit: ai j = [(a)]i j = (a)j i = ai j nach (13) sein muss, indem sich durch die zweimal hintereinander voll- zogene Vertauschung der beiden Indizes im Suffixe deren ursprüngliche Ordnung wiederherstellt -- q. e. d.
Wer das Bedürfniss empfindet, sich das Verständniss noch mehr zu erleichtern, der möge hier einfachere Namen, wie b für an und c für a, ad hoc -- für den Augenblick -- einführen.
§ 7. Die Beweise zu den Gesetzen.
Ebenso haben wir zur zweiten Formel 7): Li j = {(a ɟ b) ; c}i j = ΣkΠh(ai h + bh k)ck j ⋹ ΣkΠh(ai h + bh kck j), Ri j = (a ɟ b ; c)i j = ΠhΣk(ai h + bh kck j), also nach demselben Schema Li j ⋹ Ri j, q. e. d.
Behufs Beweises der drei Formeln 8) des § 6 S. 83 müssen wir uns auf die Festsetzungen (11) und (13) S. 29 berufen. Erste Formel.
Macht man der Deutlichkeit zuliebe ausgiebigen Gebrauch von Klammern, so bedeutet: ā̄ = (ā)͞, somit ā̄i j = (ā̄)i j = [(ā)͞]i j. Dies ist aber nach (11):
[Formel 1]
.
Dass nun bei Koeffizienten oder Aussagen die doppelte Verneinung sich aufhebt, darauf dürfen wir uns schon längst berufen; es ist also (ai j)͞͞ = ai j und damit ist auch gezeigt, dass ā̄i j = ai j, das heisst ā̄ = a ist, in Anbetracht dass die Gleichheit der Relative auf die Übereinstimmung ihres allgemeinen Koeffizienten hinausläuft — q. e. d.
Bei der zweiten Formel 8) bedeutet: ă̄ = (ă)͞ und ā̆ = (ā)͝ Nach (11) und (13) wird aber: ă̄i j = [(ă)͞]i j = {(ă)i j}͞ = {aj i}͞ = (ā)j i = āj i und ā̆i j = [(ā)͝]i j = (ā)j i = āj i (wo der letzte Ausdruck nur eine Namensabkürzung des vorletzten ist), somit allgemein ă̄i j = ā̆i j und damit auch ă̄ = ā̆, wie zu beweisen war.
Die dritte Formel 8) betreffend ist zu bedenken, dass ă̆ = (ă)͝ bedeutet, somit: ă̆i j = [(ă)͝]i j = (ă)j i = ai j nach (13) sein muss, indem sich durch die zweimal hintereinander voll- zogene Vertauschung der beiden Indizes im Suffixe deren ursprüngliche Ordnung wiederherstellt — q. e. d.
Wer das Bedürfniss empfindet, sich das Verständniss noch mehr zu erleichtern, der möge hier einfachere Namen, wie b für ā und c für ă, ad hoc — für den Augenblick — einführen.
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[107/0121]
§ 7. Die Beweise zu den Gesetzen.
Ebenso haben wir zur zweiten Formel 7):
Li j = {(a ɟ b) ; c}i j = ΣkΠh(ai h + bh k)ck j ⋹ ΣkΠh(ai h + bh kck j),
Ri j = (a ɟ b ; c)i j = ΠhΣk(ai h + bh kck j),
also nach demselben Schema Li j ⋹ Ri j, q. e. d.
Behufs Beweises der drei Formeln 8) des § 6 S. 83 müssen wir
uns auf die Festsetzungen (11) und (13) S. 29 berufen. Erste Formel.
Macht man der Deutlichkeit zuliebe ausgiebigen Gebrauch von
Klammern, so bedeutet:
ā̄ = (ā)͞,
somit
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Dies ist aber nach (11):
[FORMEL].
Dass nun bei Koeffizienten oder Aussagen die doppelte Verneinung
sich aufhebt, darauf dürfen wir uns schon längst berufen; es ist also
(ai j)͞͞ = ai j
und damit ist auch gezeigt, dass ā̄i j = ai j, das heisst ā̄ = a ist, in
Anbetracht dass die Gleichheit der Relative auf die Übereinstimmung
ihres allgemeinen Koeffizienten hinausläuft — q. e. d.
Bei der zweiten Formel 8) bedeutet:
ă̄ = (ă)͞ und ā̆ = (ā)͝
Nach (11) und (13) wird aber:
ă̄i j = [(ă)͞]i j = {(ă)i j}͞ = {aj i}͞ = (ā)j i = āj i und ā̆i j = [(ā)͝]i j = (ā)j i = āj i
(wo der letzte Ausdruck nur eine Namensabkürzung des vorletzten ist),
somit allgemein ă̄i j = ā̆i j und damit auch ă̄ = ā̆, wie zu beweisen war.
Die dritte Formel 8) betreffend ist zu bedenken, dass
ă̆ = (ă)͝
bedeutet, somit:
ă̆i j = [(ă)͝]i j = (ă)j i = ai j
nach (13) sein muss, indem sich durch die zweimal hintereinander voll-
zogene Vertauschung der beiden Indizes im Suffixe deren ursprüngliche
Ordnung wiederherstellt — q. e. d.
Wer das Bedürfniss empfindet, sich das Verständniss noch mehr zu
erleichtern, der möge hier einfachere Namen, wie b für ā und c für ă,
ad hoc — für den Augenblick — einführen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 107. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/121>, abgerufen am 01.09.2024.
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