Beweise von 9) des § 6:
[Formel 1]
,
[Formel 2]
nach den Festsetzungen und De Morgan's für Aussagen und Koeffizienten bereits sicher gestellten Theoremen.
Beweise der Formeln 10) des § 6 -- ebenso:
[Formel 3]
,
[Formel 4]
.
Beweise von 11) des § 6 -- S. 85: (ab)i j = (ab)j i = aj ibj i = bj iaj i = bi jai j = (ba)i j, (a + b)i j = (a + b)j i = aj i + bj i = bj i + aj i = bi j + ai j = (b + a)i j.
Beweise von 12) des § 6: (a ; b)i j = (a ; b)j i = Shaj hbh i = Shbh iaj h = Shbi hah j = (b ; a)i j, (a j b)i j = (a j b)j i = Ph(aj h + bh i) = Ph(bh i + aj h) = Ph(bi h + ah j) = (b j a)i j.
Behufs Beweises der Formeln 13) des § 6 -- S. 87 -- ist un- mittelbar nur zu zeigen dass: (ab) = (bnan) sowie (ab) = (ab) ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin- blick auf (14) leicht so: (ab) = Pi j(ai jbi j) = Pi j[(bi j) (ai j)] = Pi j(bni jani j) = (bnan). Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so: (ab) = Pi j(ai jbi j) = Pj i(ai jbi j) = Pi j(aj ibj i) = = Pi j(ai jbi j) = (ab). Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder dritte Formel 13): (ab) = (bnan) bequemer mittelbar durch deren "kombinirte" Anwendung -- das soll hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge.
Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander- gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem Quadrupel "verwandter" Formeln nur mehr eine einzige -- zumeist die
Dritte Vorlesung.
Beweise von 9) des § 6:
[Formel 1]
,
[Formel 2]
nach den Festsetzungen und De Morgan’s für Aussagen und Koeffizienten bereits sicher gestellten Theoremen.
Beweise der Formeln 10) des § 6 — ebenso:
[Formel 3]
,
[Formel 4]
.
Beweise von 11) des § 6 — S. 85: (ab͝)i j = (ab)j i = aj ibj i = bj iaj i = b̆i jăi j = (b̆ă)i j, (a + b͝)i j = (a + b)j i = aj i + bj i = bj i + aj i = b̆i j + ăi j = (b̆ + ă)i j.
Beweise von 12) des § 6: (a ; b͝)i j = (a ; b)j i = Σhaj hbh i = Σhbh iaj h = Σhb̆i hăh j = (b̆ ; ă)i j, (a ɟ b͝)i j = (a ɟ b)j i = Πh(aj h + bh i) = Πh(bh i + aj h) = Πh(b̆i h + ăh j) = (b̆ ɟ ă)i j.
Behufs Beweises der Formeln 13) des § 6 — S. 87 — ist un- mittelbar nur zu zeigen dass: (a ⋹ b) = (b̄ ⋹ ā) sowie (a ⋹ b) = (ă ⋹ b̆) ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin- blick auf (14) leicht so: (a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πi j[(bi j)͞ ⋹ (ai j)͞] = Πi j(b̄i j ⋹ āi j) = (b̄ ⋹ ā). Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so: (a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πj i(ai j ⋹ bi j) = Πi j(aj i ⋹ bj i) = = Πi j(ăi j ⋹ b̆i j) = (ă ⋹ b̆). Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder dritte Formel 13): (a ⋹ b) = (b̄̆ ⋹ ā̆) bequemer mittelbar durch deren „kombinirte“ Anwendung — das soll hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge.
Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander- gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem Quadrupel „verwandter“ Formeln nur mehr eine einzige — zumeist die
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[108/0122]
Dritte Vorlesung.
Beweise von 9) des § 6:
[FORMEL],
[FORMEL] nach den Festsetzungen und De Morgan’s für Aussagen und Koeffizienten
bereits sicher gestellten Theoremen.
Beweise der Formeln 10) des § 6 — ebenso:
[FORMEL],
[FORMEL].
Beweise von 11) des § 6 — S. 85:
(ab͝)i j = (ab)j i = aj ibj i = bj iaj i = b̆i jăi j = (b̆ă)i j,
(a + b͝)i j = (a + b)j i = aj i + bj i = bj i + aj i = b̆i j + ăi j = (b̆ + ă)i j.
Beweise von 12) des § 6:
(a ; b͝)i j = (a ; b)j i = Σhaj hbh i = Σhbh iaj h = Σhb̆i hăh j = (b̆ ; ă)i j,
(a ɟ b͝)i j = (a ɟ b)j i = Πh(aj h + bh i) = Πh(bh i + aj h) = Πh(b̆i h + ăh j) = (b̆ ɟ ă)i j.
Behufs Beweises der Formeln 13) des § 6 — S. 87 — ist un-
mittelbar nur zu zeigen dass:
(a ⋹ b) = (b̄ ⋹ ā) sowie (a ⋹ b) = (ă ⋹ b̆)
ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder
Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin-
blick auf (14) leicht so:
(a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πi j[(bi j)͞ ⋹ (ai j)͞] = Πi j(b̄i j ⋹ āi j) = (b̄ ⋹ ā).
Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so:
(a ⋹ b) = Πi j(ai j ⋹ bi j) = Πj i(ai j ⋹ bi j) = Πi j(aj i ⋹ bj i) =
= Πi j(ăi j ⋹ b̆i j) = (ă ⋹ b̆).
Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder
dritte Formel 13):
(a ⋹ b) = (b̄̆ ⋹ ā̆)
bequemer mittelbar durch deren „kombinirte“ Anwendung — das soll
hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge.
Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus
und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander-
gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem
Quadrupel „verwandter“ Formeln nur mehr eine einzige — zumeist die
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 108. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/122>, abgerufen am 01.09.2024.
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