Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Dritte Vorlesung. welche beiden Ergebnisse zusammengefasst unsern Satz a ; bc a ; b · a ; cliefern. Etc. q. e. d. Beweis zu 6) des § 6. Erste Formel. Es ist: Weil nun Sh k = Sk h, so ist also Li j = Ri j, q. e. d. Zweite Formel: Beweis zu 7) des § 6. Erste Formel. Es ist: Bei Li j und Ri j stimmen nun die allgemeinen Terme hinter den Von dem allgemeinen Term bei L ist aber leicht zu zeigen, dass Nach jenem (minder geläufigen) Schema: ShPk PkSh des Aus- Dritte Vorlesung. welche beiden Ergebnisse zusammengefasst unsern Satz a ; bc ⋹ a ; b · a ; cliefern. Etc. q. e. d. Beweis zu 6) des § 6. Erste Formel. Es ist: Weil nun Σh k = Σk h, so ist also Li j = Ri j, q. e. d. Zweite Formel: Beweis zu 7) des § 6. Erste Formel. Es ist: Bei Li j und Ri j stimmen nun die allgemeinen Terme hinter den Von dem allgemeinen Term bei L ist aber leicht zu zeigen, dass Nach jenem (minder geläufigen) Schema: ΣhΠk ⋹ ΠkΣh des Aus- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0120" n="106"/><fw place="top" type="header">Dritte Vorlesung.</fw><lb/> welche beiden Ergebnisse zusammengefasst unsern Satz <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">bc</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> · <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi><lb/> liefern. Etc. q. e. d.</p><lb/> <p><hi rendition="#g">Beweis</hi> zu 6) des § 6. Erste Formel. 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Dritte Vorlesung.
welche beiden Ergebnisse zusammengefasst unsern Satz a ; bc ⋹ a ; b · a ; c
liefern. Etc. q. e. d.
Beweis zu 6) des § 6. Erste Formel. Es ist:
Li j = {a ; (b ; c)}i j = Σhai h(b ; c)h j = Σhai hΣkbh kck j = Σh kai hbh kck j,
Ri j = {(a ; b) ; c}i j = Σk(a ; b)i kck j = Σk(Σhai hbh k)ck j = Σk hai hbh kck j.
Weil nun Σh k = Σk h, so ist also Li j = Ri j, q. e. d.
Zweite Formel:
Li j = {a ɟ (b ɟ c)}i j = Πh{ai h + (b ɟ c)h j} = Πh{ai h + Πk(bh k + ck j)} =
= Πh k(ai h + bh k + ck j),
Ri j = {(a ɟ b) ɟ c}i j = Πk{(a ɟ b)i kck j} = Πk{Πh(ai h + bh k) + ck j} =
= Πk h(ai h + bh k + ck j).
Weil aber Πk h = Πh k, so ist also Li j = Ri j, q. e. d.
Beweis zu 7) des § 6. Erste Formel. Es ist:
Li j = {a ; (b ɟ c)}i j = Σhai h(b ɟ c)h j = Σhai hΠk(bh k + ck j) = ΣhΠkai h(bh k + ck j),
Ri j = (a ; b ɟ c)i j = Πk{(a ; b)i k + ck j} = Πk{Σhai hbh k + ck j} = ΠkΣh(ai hbh k + ck j).
Dass man im zweitletzten Ausdrucke der oberen Zeile das Zeichen Πk
vor den bezüglich dessen Zeigers konstanten Faktor ai h schieben konnte,
ebenso dass im zweitletzten Ausdruck der unteren Zeile das Zeichen Σh
erstreckt werden konnte über alles folgende mit Einschluss des bezüg-
lich h konstanten Termes ck j, beruht auf den Tautologiegesetzen (des
Aussagenkalkuls).
Bei Li j und Ri j stimmen nun die allgemeinen Terme hinter den
Σ- und Π-zeichen nicht überein, und ausserdem ist die Ordnung der
Σ, Π in beiden Ergebnissen die entgegengesetzte.
Von dem allgemeinen Term bei L ist aber leicht zu zeigen, dass
er eingeordnet ist demjenigen bei R, indem:
ai h(bh k + ck j) = ai hbh k + ai hck j ⋹ ai hbh k + ck j wegen ai hck j ⋹ ck j
sein muss. Es muss hienach jedenfalls sein:
Li j⋹ΣhΠk(ai hbh k + ck j),
wo nun rechts der allgemeine Term mit demjenigen bei Ri j sich deckt
und der Unterschied nur noch in der Reihenfolge der Σ, Π besteht.
Nach jenem (minder geläufigen) Schema: ΣhΠk ⋹ ΠkΣh des Aus-
sagenkalkuls, welches wir weiter unten S. 112 gesondert rechtfertigen,
wird nun a fortiori erkannt sein, dass Li j ⋹ Ri j, q. e. d.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 106. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/120>, abgerufen am 01.09.2024. |