Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Dritte Vorlesung.

welche beiden Ergebnisse zusammengefasst unsern Satz a ; bc ⋹ a ; b · a ; c
liefern. Etc. q. e. d.

Beweis zu 6) des § 6. Erste Formel. Es ist:
L_{i j} = {a ; (b ; c)}_{i j} = Σ_ha_{i h}(b ; c)_{h j} = Σ_ha_{i h}Σ_kb_{h k}c_{k j} = Σ_{h k}a_{i h}b_{h k}c_{k j},
R_{i j} = {(a ; b) ; c}_{i j} = Σ_k(a ; b)_{i k}c_{k j} = Σ_k(Σ_ha_{i h}b_{h k})c_{k j} = Σ_{k h}a_{i h}b_{h k}c_{k j}.

Weil nun Σ_{h k} = Σ_{k h}, so ist also L_{i j} = R_{i j}, q. e. d.

Zweite Formel:
L_{i j} = {a ɟ (b ɟ c)}_{i j} = Π_h{a_{i h} + (b ɟ c)_{h j}} = Π_h{a_{i h} + Π_k(b_{h k} + c_{k j})} =
= Π_{h k}(a_{i h} + b_{h k} + c_{k j}),
R_{i j} = {(a ɟ b) ɟ c}_{i j} = Π_k{(a ɟ b)_{i k}c_{k j}} = Π_k{Π_h(a_{i h} + b_{h k}) + c_{k j}} =
= Π_{k h}(a_{i h} + b_{h k} + c_{k j}).
Weil aber Π_{k h} = Π_{h k}, so ist also L_{i j} = R_{i j}, q. e. d.

Beweis zu 7) des § 6. Erste Formel. Es ist:
L_{i j} = {a ; (b ɟ c)}_{i j} = Σ_ha_{i h}(b ɟ c)_{h j} = Σ_ha_{i h}Π_k(b_{h k} + c_{k j}) = Σ_hΠ_ka_{i h}(b_{h k} + c_{k j}),
R_{i j} = (a ; b ɟ c)_{i j} = Π_k{(a ; b)_{i k} + c_{k j}} = Π_k{Σ_ha_{i h}b_{h k} + c_{k j}} = Π_kΣ_h(a_{i h}b_{h k} + c_{k j}).
Dass man im zweitletzten Ausdrucke der oberen Zeile das Zeichen Π_k
vor den bezüglich dessen Zeigers konstanten Faktor a_{i h} schieben konnte,
ebenso dass im zweitletzten Ausdruck der unteren Zeile das Zeichen Σ_h
erstreckt werden konnte über alles folgende mit Einschluss des bezüg-
lich h konstanten Termes c_{k j}, beruht auf den Tautologiegesetzen (des
Aussagenkalkuls).

Bei L_{i j} und R_{i j} stimmen nun die allgemeinen Terme hinter den
Σ- und Π-zeichen nicht überein, und ausserdem ist die Ordnung der
Σ, Π in beiden Ergebnissen die entgegengesetzte.

Von dem allgemeinen Term bei L ist aber leicht zu zeigen, dass
er eingeordnet ist demjenigen bei R, indem:
a_{i h}(b_{h k} + c_{k j}) = a_{i h}b_{h k} + a_{i h}c_{k j} ⋹ a_{i h}b_{h k} + c_{k j} wegen a_{i h}c_{k j} ⋹ c_{k j}
sein muss. Es muss hienach jedenfalls sein:
L_{i j}⋹Σ_hΠ_k(a_{i h}b_{h k} + c_{k j}),
wo nun rechts der allgemeine Term mit demjenigen bei R_{i j} sich deckt
und der Unterschied nur noch in der Reihenfolge der Σ, Π besteht.

Nach jenem (minder geläufigen) Schema: Σ_hΠ_k ⋹ Π_kΣ_h des Aus-
sagenkalkuls, welches wir weiter unten S. 112 gesondert rechtfertigen,
wird nun a fortiori erkannt sein, dass L_{i j} ⋹ R_{i j}, q. e. d.