Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Dritte Vorlesung.

mittelbaren Beweise vorzieht, ist die Reihenfolge, in der man die
Beweise durchnimmt, gleichgültig.

Falls jedoch eine Formel sich ohne Zurückgehen auf die Relativ-
koeffizienten aus andern auf diesem Wege schon bewiesenen Formeln
und Sätzen ableiten lässt, so werden wir solch „mittelbaren“ (mediate)
Beweis^*) fast immer vorziehen — uns bestrebend, die Technik der
Algebra der Relative selbst zur Entwickelung zu bringen und zur Gel-
tung, zu ihrem Rechte kommen zu lassen. In solchen Fällen ver-
bleibt die Führung des „unmittelbaren“ Beweises dem Leser als eine
jederzeit empfehlenswerte Übungsaufgabe.

Beweis von 1) des § 6. Prämisse, Hypothesis (der sekundären
Formel) ist L = (a ⋹ b)(c ⋹ d). Nach (14) haben wir:
(a ⋹ b) = Π_{i j}(a_{i j} ⋹ b_{i j}) ⋹ (a_{i j} ⋹ b_{i j}), ebenso (c ⋹ d) ⋹ (c_{i j} ⋹ d_{i j}),
woraus nach bekannten Schemata des Aussagenkalkuls (für jedes ij) folgt:
a_{i j}c_{i j}⋹b_{i j}d_{i j} und a_{i j} + c_{i j} ⋹ b_{i j} + d_{i j},
oder wegen (10):
(ac)_{i j} ⋹ (bd)_{i j} und (a + c)_{i j} ⋹ (b + d)_{i j}.

Denkt man sich vor diese in Klammer { } zu stellenden Konklu-
sionen das Zeichen Π_{i j} gesetzt und wendet das Schema (14) rückwärts
an, so erscheinen die beiden ersten Teil-Behauptungen: ac ⋹ bd und
a + c ⋹ b + d der Behauptung, Thesis R von 1) erwiesen.

Ganz ebenso haben wir aber^**) nach (14) auch:
(a ⋹ b) = Π_{i h}(a_{i h} ⋹ b_{i h}) ⋹ (a_{i h} ⋹ b_{i h})
und
(c ⋹ d) = Π_{h j}(c_{h j} ⋹ d_{h j}) ⋹ (c_{h j} ⋹ d_{h j}),
woraus im Vereine zu schliessen ist:
a_{i h}c_{h j}⋹b_{i h}d_{h j} nebst a_{i h} + c_{h j} ⋹ b_{i h} + d_{h j}
nicht nur, sondern auch:
Σ_ha_{i h}c_{h j}⋹Σ_hb_{i h}d_{h j} nebst Π_h(a_{i h} + c_{h j}) ⋹ Π_h(b_{i h} + d_{h j}),
das heisst wegen (12):
(a ; c)_{i j} ⋹ (b ; d)_{i j}, (a ɟ c)_{i j} ⋹ (b ɟ d)_{i j}.

*) „Indirekt“ darf aus bekannten Gründen hier nicht gesagt werden.

**) Weil es in unser Belieben gestellt, gleichgültig ist, welchen Namen wir
für den laufenden Zeiger (die Summations- oder Produktationsvariable) wählen.
Mit andern Worten: es dürfen die vorhin für jedes Suffix ij gezognen Folge-
rungen a_{i j} ⋹ b_{i j}, c_{i j} ⋹ d_{i j} auch für Suffixe in Anspruch genommen werden, die
man etwa ih und hj zu nennen beliebt, die man irgendwie anders zu nennen
vorzieht.