§ 7. Beweis jener Grundgesetze. Nebst einigen Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.
Die beiderseits oder "voll" eingeklammerten Chiffren verweisen jeweils auf die "fundamentalen Festsetzungen" des § 3, die blos einseitig, rechts mit einem Klammerhaken versehenen Chiffren aber auf die Formeln des laufenden -- wonicht eines eigens citirten -- Paragraphen.
Die linke Seite einer zu beweisenden Formel werden wir häufig mit L, die rechte mit R bezeichnen um die sonst oft nötig fallende Wiederholung der umständlichen Ausdrücke zu ersparen, welche hüben und drüben stehn mögen.
Wir haben zunächst nur mit dem Beweise von Formeln zu thun, welche die Form einer Subsumtion oder aber einer Gleichung haben, während Ungleichungen und Unsubsumtionen vorerst nicht in Betracht kommen.
Die Formeln sind entweder "primäre", d. h. solche Propositionen LR resp. L = R, deren beide Seiten (binäre) Relative vorstellen, oder sie sind "sekundäre" (in Boole'scher Terminologie), indem ihre beiden Seiten L und R sich als Aussagen darstellen. Letztre sind alsdann aus primären Propositionen der vorhin beschriebenen Art ver- mittelst der 3 Spezies des Aussagenkalkuls aufgebaut.
Der Beweis einer primären Formel und Proposition genannter Art (also einer Subsumtion oder Gleichung nicht aber einer Ungleichung etc.) wird im Hinblick auf die Festsetzungen (14) nebst Korollar und (1) zu leisten sein, indem man allgemein -- für jedes ij -- zeigt, dass zwischen Li j und Ri j ebendie Beziehung der Einordnung resp. Gleich- heit besteht, welche der zu beweisende Satz, die Formel zwischen L und R behauptet.
Da Li j und Ri j als Relativkoeffizienten Aussagen repräsentiren, so können bei diesem Nachweise und den dazu erforderlichen Schlüssen die Gesetze und Schemata des Aussagenkalkuls frei oder nach Herzens- lust angewendet werden, weil diese durch unsre Festsetzungen bereits gesichert worden.
Auf solchem Wege lässt jede primäre und mittelbar auch die Thesis jeder sekundären Formel (aus dem angedeuteten Propositionen- kreise) sich, wie wir sagen wollen "direkt" "unmittelbar" (immediately) oder "aus der Koeffizientenevidenz" beweisen. Und falls man die un-
§ 7. Die Beweise zu den Gesetzen.
Hierbei können stets die Zeichen 31)
[Tabelle]
— nach Belieben — gelesen werden.
§ 7. Beweis jener Grundgesetze. Nebst einigen Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.
Die beiderseits oder „voll“ eingeklammerten Chiffren verweisen jeweils auf die „fundamentalen Festsetzungen“ des § 3, die blos einseitig, rechts mit einem Klammerhaken versehenen Chiffren aber auf die Formeln des laufenden — wonicht eines eigens citirten — Paragraphen.
Die linke Seite einer zu beweisenden Formel werden wir häufig mit L, die rechte mit R bezeichnen um die sonst oft nötig fallende Wiederholung der umständlichen Ausdrücke zu ersparen, welche hüben und drüben stehn mögen.
Wir haben zunächst nur mit dem Beweise von Formeln zu thun, welche die Form einer Subsumtion oder aber einer Gleichung haben, während Ungleichungen und Unsubsumtionen vorerst nicht in Betracht kommen.
Die Formeln sind entweder „primäre“, d. h. solche Propositionen L ⋹ R resp. L = R, deren beide Seiten (binäre) Relative vorstellen, oder sie sind „sekundäre“ (in Boole’scher Terminologie), indem ihre beiden Seiten L und R sich als Aussagen darstellen. Letztre sind alsdann aus primären Propositionen der vorhin beschriebenen Art ver- mittelst der 3 Spezies des Aussagenkalkuls aufgebaut.
Der Beweis einer primären Formel und Proposition genannter Art (also einer Subsumtion oder Gleichung nicht aber einer Ungleichung etc.) wird im Hinblick auf die Festsetzungen (14) nebst Korollar und (1) zu leisten sein, indem man allgemein — für jedes ij — zeigt, dass zwischen Li j und Ri j ebendie Beziehung der Einordnung resp. Gleich- heit besteht, welche der zu beweisende Satz, die Formel zwischen L und R behauptet.
Da Li j und Ri j als Relativkoeffizienten Aussagen repräsentiren, so können bei diesem Nachweise und den dazu erforderlichen Schlüssen die Gesetze und Schemata des Aussagenkalkuls frei oder nach Herzens- lust angewendet werden, weil diese durch unsre Festsetzungen bereits gesichert worden.
Auf solchem Wege lässt jede primäre und mittelbar auch die Thesis jeder sekundären Formel (aus dem angedeuteten Propositionen- kreise) sich, wie wir sagen wollen „direkt“ „unmittelbar“ (immediately) oder „aus der Koeffizientenevidenz“ beweisen. Und falls man die un-
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§ 7. Die Beweise zu den Gesetzen.
Hierbei können stets die Zeichen
31)
— nach Belieben — gelesen werden.
§ 7. Beweis jener Grundgesetze. Nebst einigen Hülfsschemata des
Aussagenkalkuls.
Die beiderseits oder „voll“ eingeklammerten Chiffren verweisen jeweils
auf die „fundamentalen Festsetzungen“ des § 3, die blos einseitig, rechts
mit einem Klammerhaken versehenen Chiffren aber auf die Formeln des
laufenden — wonicht eines eigens citirten — Paragraphen.
Die linke Seite einer zu beweisenden Formel werden wir häufig mit L,
die rechte mit R bezeichnen um die sonst oft nötig fallende Wiederholung
der umständlichen Ausdrücke zu ersparen, welche hüben und drüben stehn
mögen.
Wir haben zunächst nur mit dem Beweise von Formeln zu thun,
welche die Form einer Subsumtion oder aber einer Gleichung haben,
während Ungleichungen und Unsubsumtionen vorerst nicht in Betracht
kommen.
Die Formeln sind entweder „primäre“, d. h. solche Propositionen
L ⋹ R resp. L = R, deren beide Seiten (binäre) Relative vorstellen,
oder sie sind „sekundäre“ (in Boole’scher Terminologie), indem ihre
beiden Seiten L und R sich als Aussagen darstellen. Letztre sind
alsdann aus primären Propositionen der vorhin beschriebenen Art ver-
mittelst der 3 Spezies des Aussagenkalkuls aufgebaut.
Der Beweis einer primären Formel und Proposition genannter Art
(also einer Subsumtion oder Gleichung nicht aber einer Ungleichung etc.)
wird im Hinblick auf die Festsetzungen (14) nebst Korollar und (1)
zu leisten sein, indem man allgemein — für jedes ij — zeigt, dass
zwischen Li j und Ri j ebendie Beziehung der Einordnung resp. Gleich-
heit besteht, welche der zu beweisende Satz, die Formel zwischen L
und R behauptet.
Da Li j und Ri j als Relativkoeffizienten Aussagen repräsentiren, so
können bei diesem Nachweise und den dazu erforderlichen Schlüssen
die Gesetze und Schemata des Aussagenkalkuls frei oder nach Herzens-
lust angewendet werden, weil diese durch unsre Festsetzungen bereits
gesichert worden.
Auf solchem Wege lässt jede primäre und mittelbar auch die
Thesis jeder sekundären Formel (aus dem angedeuteten Propositionen-
kreise) sich, wie wir sagen wollen „direkt“ „unmittelbar“ (immediately)
oder „aus der Koeffizientenevidenz“ beweisen. Und falls man die un-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 101. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/115>, abgerufen am 21.11.2024.
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