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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

10)	x = (a1 + b1 d) u v + (b1 + c d) u v1 + (b1 + d) c u1 v + (a1 + b1) d u1 v1 y = (a1 + b d) u v + b (c1 + d) u v1 + (b d + c1) u1 v + (a1 + b) d u1 v1

11)	x = (a1 + b1 d) u v + (a1 c + b1) u v1 + (a1 + b1) c u1 v + (a1 + b1) d u1 v1 y = (a1 + b d) u v + (a1 + c1) b u v1 + (a1 b + c1) u1 v + (a1 + b) d u1 v1,

deren jede die gleiche Allgemeinheit wie die 6) beansprucht. In diesen
erscheinen freilich gewisse Koeffizientenpaare, nämlich c, d; resp. a, c;
b, d; a, b, bevorzugt.

Zudem verdient aber noch eine Reihe von Spezialisirungen unserer
Ergebnisse hervorgehoben und für den Gebrauch zurecht gelegt zu
werden.

Exempel 1. x y a. Lösung: x = u (a + v1), y = v (a + u1).
(Man setze in 6) a1 für a und 0 für b, c, d).

Damit sind auch die symmetrisch allgemeinen Lösungen von
a x y = 0 gegeben als: x = u (a1 + v1), y = v (a1 + u1).

Exempel 2. x + y a. Lösung: x = a u, y = a v.

Exempel 3, (zugleich Aufgabe 13 des § 24, Bd. 1, S. 515).
x y = a. Lösung: x = a + u v1, y = a + u1 v.

Exempel 4. x + y = a. Lösung: x = a (u + v1), y = a (u1 + v).

Exempel 5. x y1 + x1 y a. Lösung:

x = u v + (a + s) u v1 + a1 s u1 v = (a + s + v) u + a1 s v u1
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y1 = (a + s1) u v1 + a1 s1 u1 v + u1 v1 = a1 s1 u1 v + (a + s1 + u1) v1

Speziell für s = 0 oder 1 hat man die Lösungsformen:

x = (a + v) u, x1 = a1 v1 + u1,
y = (a + u) v, y1 = a1 u1 + v1

resp.

x = u + a1 v, x1 = u1 (a + v1)
y = v + a1 u, y1 = v1 (a + u1).

Exempel 6. Zu x y1 + x1 y = a, also x = a y1 + a1 y, y = a x1 + a1 x,
liefert uns 6) die obigen Lösungen 2) der Aufgabe 12 wieder.

Wird in den zwei letzten Exempeln nur y, v mit y1, v1 vertauscht,
so schreibt man aus dem angegebenen x und y1 auch leicht noch ab
die Lösungen der Aufgaben x y + x1 y1 a resp. = a.

Exempel 7, (zugleich Aufgabe 14 in Bd. 1, S. 515.)
x y = a, x1 y1 = b, wo a b = 0.
Aus der vereinigten Gleichung
(a1 + b) x y + (a + b) (x y1 + x1 y) + (a + b1) x1 y1 = 0
ersieht man, welche Einsetzungen in Schema 6) gemacht werden müssen.
Man findet als Lösungen, die, im Gegensatz zu den in § 24 aufgestellten,

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

10)	x = (a1 + b1 d) u v + (b1 + c d) u v1 + (b1 + d) c u1 v + (a1 + b1) d u1 v1 y = (a1 + b d) u v + b (c1 + d) u v1 + (b d + c1) u1 v + (a1 + b) d u1 v1

11)	x = (a1 + b1 d) u v + (a1 c + b1) u v1 + (a1 + b1) c u1 v + (a1 + b1) d u1 v1 y = (a1 + b d) u v + (a1 + c1) b u v1 + (a1 b + c1) u1 v + (a1 + b) d u1 v1,

deren jede die gleiche Allgemeinheit wie die 6) beansprucht. In diesen
erscheinen freilich gewisse Koeffizientenpaare, nämlich c, d; resp. a, c;
b, d; a, b, bevorzugt.

Zudem verdient aber noch eine Reihe von Spezialisirungen unserer
Ergebnisse hervorgehoben und für den Gebrauch zurecht gelegt zu
werden.

Exempel 1. x y a. Lösung: x = u (a + v1), y = v (a + u1).
(Man setze in 6) a1 für a und 0 für b, c, d).

Damit sind auch die symmetrisch allgemeinen Lösungen von
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liefert uns 6) die obigen Lösungen 2) der Aufgabe 12 wieder.

Wird in den zwei letzten Exempeln nur y, v mit y1, v1 vertauscht,
so schreibt man aus dem angegebenen x und y1 auch leicht noch ab
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[429/0073] § 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen. 10) x = (a1 + b1 d) u v + (b1 + c d) u v1 + (b1 + d) c u1 v + (a1 + b1) d u1 v1 y = (a1 + b d) u v + b (c1 + d) u v1 + (b d + c1) u1 v + (a1 + b) d u1 v1 11)x = (a1 + b1 d) u v + (a1 c + b1) u v1 + (a1 + b1) c u1 v + (a1 + b1) d u1 v1 y = (a1 + b d) u v + (a1 + c1) b u v1 + (a1 b + c1) u1 v + (a1 + b) d u1 v1, deren jede die gleiche Allgemeinheit wie die 6) beansprucht. In diesen erscheinen freilich gewisse Koeffizientenpaare, nämlich c, d; resp. a, c; b, d; a, b, bevorzugt. Zudem verdient aber noch eine Reihe von Spezialisirungen unserer Ergebnisse hervorgehoben und für den Gebrauch zurecht gelegt zu werden. Exempel 1. x y a. Lösung: x = u (a + v1), y = v (a + u1). (Man setze in 6) a1 für a und 0 für b, c, d). Damit sind auch die symmetrisch allgemeinen Lösungen von a x y = 0 gegeben als: x = u (a1 + v1), y = v (a1 + u1). Exempel 2. x + y a. Lösung: x = a u, y = a v. Exempel 3, (zugleich Aufgabe 13 des § 24, Bd. 1, S. 515). x y = a. Lösung: x = a + u v1, y = a + u1 v. Exempel 4. x + y = a. Lösung: x = a (u + v1), y = a (u1 + v). Exempel 5. x y1 + x1 y a. Lösung: x = u v + (a + s) u v1 + a1 s u1 v = (a + s + v) u + a1 s v u1 y = u v + a1 s u v1 + (a + s) u1 v = (a + s + u) v + a1 s u v1 x1 = a1 s1 u v1 + (a + s1) u1 v + u1 v1 = a1 s1 v1 u + (a + s1 + v1) u1 y1 = (a + s1) u v1 + a1 s1 u1 v + u1 v1 = a1 s1 u1 v + (a + s1 + u1) v1 Speziell für s = 0 oder 1 hat man die Lösungsformen: x = (a + v) u, x1 = a1 v1 + u1, y = (a + u) v, y1 = a1 u1 + v1 resp. x = u + a1 v, x1 = u1 (a + v1) y = v + a1 u, y1 = v1 (a + u1). Exempel 6. Zu x y1 + x1 y = a, also x = a y1 + a1 y, y = a x1 + a1 x, liefert uns 6) die obigen Lösungen 2) der Aufgabe 12 wieder. Wird in den zwei letzten Exempeln nur y, v mit y1, v1 vertauscht, so schreibt man aus dem angegebenen x und y1 auch leicht noch ab die Lösungen der Aufgaben x y + x1 y1 a resp. = a. Exempel 7, (zugleich Aufgabe 14 in Bd. 1, S. 515.) x y = a, x1 y1 = b, wo a b = 0. Aus der vereinigten Gleichung (a1 + b) x y + (a + b) (x y1 + x1 y) + (a + b1) x1 y1 = 0 ersieht man, welche Einsetzungen in Schema 6) gemacht werden müssen. Man findet als Lösungen, die, im Gegensatz zu den in § 24 aufgestellten,

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 429. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/73>, abgerufen am 04.05.2024.

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