Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Vierundzwanzigste Vorlesung.

für u, y für v in 6) ein, so kommt bei x das dritte und vierte, bei y
das zweite und vierte Glied wegen 4) in Wegfall, und bleibt
x = {a₁ + a (b₁ r + c r₁) d} x y + {b₁ + b (a₁ s + d s₁) c} x y₁ = x (a₁ y + b₁ y₁)
y = {a₁ + a (b r + c₁ r₁) d} x y + {c₁ + c (a₁ s + d s₁) b} x₁ y = y (a₁ x + c₁ x₁),
was durch Hinzufügung kraft 4) verschwindender Glieder übergeht in
x = x (a₁ y + b₁ y₁) + a x y + b x y₁ = x y + x y₁ = x · 1
y = y (a₁ x + c₁ x₁) + a x y + c x₁ y = x y + x₁ y = 1 · y,
mithin sich als richtig erweist.

Was endlich die Prüfung unserer Lösungen auf die Symmetrie
betrifft, so führen die nachstehenden fünf Systeme von Vertauschungen
(— und nur diese —) zwischen den Unbekannten unter sich und den
Koeffizienten unter sich, nötigenfalls verbunden mit den dahinter
stehenden Vertauschungen zwischen den Parametern, gleichwie die
Gleichung 4) nebst 5), so auch das System der Lösungen 6) nur in
sich selbst zurück:

7)

	(x, y) (x_1, y_1) (b, c)	(u, v) (u_1, v_1) (r, r_1)
	(x, y_1) (x_1, y) (a, d)	(u, v_1) (u_1, v) (s, s_1)
	(x, x_1) (a, c) (b, d)	(u, u_1) (r, s_1) (r_1, s)
	(y, y_1) (a, b) (c, d)	(v, v_1) (r, s) (r_1, s_1)
	(x, x_1) (y, y_1) (a, d) (b, c)	(u, u_1) (v, v_1) (r, r_1) (s, s_1)

Aus den in § 24 gefundenen Lösungsformen waren die obigen 6)
leicht zu gewinnen vermittelst der nach Bd. 1, S. 519 nahegelegten Sub-
stitutionen:
ϰ = u v + s (u + v), λ = u v₁ + r (u + v₁), ω = u v₁ + u₁ v.
Statt dessen konnte man freilich auch den ganzen Herleitungsweg des § 24
von vorne gehen, indem man nur statt der dortigen Lösungsform der Auf-
gabe 12 die obige 2) benutzte. — Unsere Lösungsformen 6) verdienen
aber jenen früheren gegenüber den Vorzug schon wegen der grösseren
Einfachheit des Ausdrucks, und weil sie mit einem Parameter weniger, mit
deren vier statt fünf, auskommen.

Nehmen wir wie oben die überzähligen Parameter r, s auf jede
mögliche Weise gleich 0 oder 1 an, so tritt natürlich abermals erheb-
liche Vereinfachung ein, und ergeben sich die nachstehenden vier be-
merkenswerten Lösungsformen:

8)	x = (a_1 + c d) u v + (b_1 + c d) u v_1 + (b_1 + d) c u_1 v + (a_1 + c) d u_1 v_1 y = (a_1 + c_1 d) u v + b (c_1 + d) u v_1 + (b d + c_1) u_1 v + (a_1 + c_1) d u_1 v_1

9)	x = (a_1 + c d) u v + (a_1 c + b_1) u v_1 + (a_1 + b_1) c u_1 v + (a_1 + c) d u_1 v_1 y = (a_1 + c_1 d) u v + (a_1 + c_1) b u v_1 + (a_1 b + c_1) u_1 v + (a_1 + c_1) d u_1 v_1